歡迎來到面積與體積嘅世界！
各位同學！準備好探索二維同三維圖形嘅奇妙世界未呀？喺呢一章，我哋將會學習面積同體積。你可能會諗：「點解呢個咁重要嘅呢？」其實，你隨時都會用到呢啲概念㗎！
• 你有冇諗過粉刷你睡房嘅牆身要幾多油漆？呢個就係面積喇！
• 你有冇諗過一罐汽水可以裝幾多水？呢個就係體積喇！
了解呢啲概念會幫助你解決現實生活嘅問題。各位同學唔使擔心，就算一開始覺得有啲難——我哋都會一步步、簡簡單單咁拆解佢。咁我哋就開始啦！
第一部分：圓形嘅樂趣 — 弧同扇形
唔好講咁多，不如我哋由大家最鍾意嘅薄餅（Pizza）開始啦！一個薄餅就係一個圓形。當你拎起一塊薄餅時，你其實係創造咗一個扇形。而嗰塊薄餅邊，我哋就叫做弧。
咩係弧長？
弧只不過係圓周（圓嘅邊緣）嘅一部分。弧長就係沿住嗰條彎曲邊緣嘅長度。
要搵出佢，我哋只需要知道我哋嘅弧佔成個圓形嘅幾分之幾。我哋會用圓心角嚟計算呢個比例。
公式：
想像一下，成個圓形有360度。如果我哋塊薄餅（扇形）嘅角度係θ（讀音：theta / 梯打），咁呢個圓形嘅部分就係 $$ \frac{\theta}{360} $$。
所以，弧長嘅公式係：
$$ \text{Arc Length} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r $$當中：
• θ 係扇形嘅角度（用度數表示）。
• r 係圓形嘅半徑。
• π 係圓周率（通常用3.14或22/7）。
咩係扇形面積？
扇形就係嗰「一塊」—— 整個圓形面積嘅一部分，好似一塊薄餅或者批咁。
同弧長一樣，我哋都係用角度嚟搵出呢塊扇形佔成個圓形面積嘅幾分之幾。
公式：
$$ \text{Area of Sector} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $$當中：
• θ 係扇形嘅角度（用度數表示）。
• r 係圓形嘅半徑。
分步例子：
想像你有一塊半徑為10厘米、角度為60°嘅薄餅。1. 搵出弧長（薄餅邊）：
$$ \text{Arc Length} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \pi \times 10 $$ $$ \text{Arc Length} = \frac{1}{6} \times 20 \pi $$ $$ \text{Arc Length} = \frac{10}{3} \pi \text{ cm} \approx 10.47 \text{ cm} $$2. 搵出扇形面積（薄餅塊）：
$$ \text{Area of Sector} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10)^2 $$ $$ \text{Area of Sector} = \frac{1}{6} \times 100 \pi $$ $$ \text{Area of Sector} = \frac{50}{3} \pi \text{ cm}^2 \approx 52.36 \text{ cm}^2 $$重點提示：
想搵弧長或者扇形面積，只要用圓心角 $$ \frac{\theta}{360} $$ 搵出佢佔成個圓形嘅比例，再乘以整個圓周或整個圓形面積嘅公式就得喇！
第二部分：認識我哋嘅立體朋友
依家我哋由平面圖形轉去立體圖形啦！呢啲就係你可以拎上手嘅實物。根據課程大綱，我哋要認識幾種主要嘅形狀家族。
• 角柱體同圓柱體： 你可以想像佢哋係可以「疊起」嘅形狀。佢哋有兩個完全相同嘅「底」（又叫底面）同直身嘅側面。
例子：一個粟米片盒（長方角柱體）、一個三角朱古力盒（三角角柱體）、一罐罐頭湯（圓柱體）。
• 角錐體同圓錐體： 呢啲形狀有一個底面，同埋向上收窄到頂部一個單點（叫做頂點）。
例子：埃及嘅金字塔（四角錐體）、一個雪糕筒。
• 球體： 一個完美嘅圓球。
例子：一個籃球、一個行星。
你知唔知？嚴格嚟講，圓柱體並唔係角柱體，圓錐體亦都唔係角錐體，因為佢哋嘅底面係圓形而唔係多邊形。但係佢哋嘅特性非常相似，所以好多時我哋都會將佢哋歸類為一組！
第三部分：裡面有幾多空間？（體積）
體積係用嚟量度一個立體物件佔用幾多空間。想像一下，你可以喺一個物件裡面裝到幾多水、沙或者空氣。
角柱體同圓柱體嘅體積
呢個係最容易記住嘅一個！個概念好簡單：搵出底面面積，然後乘以高度。
記憶小貼士：想像一下疊起一疊相同嘅紙張。一張紙嘅面積就係底面面積，紙疊嘅高度就係物件嘅高度。佢佔用嘅總空間就係體積！
通用公式：
$$ V = \text{Area of Base} \times h $$特定公式：
• 對於圓柱體（底面係圓形）： $$ V = (\pi r^2) \times h = \pi r^2 h $$
• 對於長方角柱體（底面係長方形）： $$ V = (l \times w) \times h = lwh $$
• 對於三角角柱體（底面係三角形）： $$ V = (\frac{1}{2} b h_{triangle}) \times H_{prism} $$
角錐體同圓錐體嘅體積
講個有趣嘅事實俾你聽：角錐體或圓錐體嘅體積，正好係同底同高嘅「原身」角柱體或圓柱體體積嘅三分之一 (1/3)！
通用公式：
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{Area of Base} \times h $$特定公式：
• 對於圓錐體： $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$
• 對於角錐體： $$ V = \frac{1}{3} \times (\text{Base Area}) \times h $$
球體嘅體積
球體體積嘅公式有啲特別。冇簡單方法解釋佢嘅由來，除非用到更高階嘅數學知識，所以依家我哋只需要學習並應用佢！
公式：
$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$常見錯誤警報！注意！半徑係立方 ($$r^3$$)，而唔係好似面積公式咁係平方 ($$r^2$$)。呢個係一個好常見嘅錯誤嚟㗎，所以要小心！
重點提示：
• 角柱體/圓柱體： 底面面積 × 高度。
• 角錐體/圓錐體： 佢只不過係同底同高嘅角柱體或圓柱體體積嘅三分之一！
• 球體： 記住嗰個特別公式，有 $$ \frac{4}{3} $$ 同埋 $$ r^3 $$ 㗎！
第四部分：要用幾多包裝紙？（表面面積）
表面面積係一個立體物件所有面或表面嘅總面積。想像一下你想包一份禮物——你需要嘅包裝紙數量就係禮物嘅表面面積。
角柱體同圓柱體嘅表面面積
要搵出表面面積，我哋會將形狀「打開」（想像佢嘅展開圖），然後加起所有部分嘅面積。
• 長方角柱體： 佢有6個長方形面。加起所有六個面嘅面積：頂、底、前、後、左、右。 $$ SA = 2(lw + lh + wh) $$
• 圓柱體： 呢個幾有趣㗎！你有兩個圓形底面（頂同底）同一個彎曲嘅側面。如果你將個彎曲側面打開，佢就會變成一個長方形！
- 長方形嘅高度就係圓柱體嘅高度 (h)。
- 長方形嘅闊度就係圓形嘅圓周 ($$2\pi r$$)。
$$ SA = \text{Area of 2 circles} + \text{Area of curved side} $$
$$ SA = 2(\pi r^2) + (2\pi r h) $$
角錐體同圓錐體嘅表面面積
呢度有個新概念：斜高 (l)。
• 高度 (h) 係由頂點垂直落到底面中心嘅距離。
• 斜高 (l) 係沿住形狀嘅外表面量度嘅長度。
如果你知道實際高度同半徑，你通常可以用畢氏定理搵出斜高：$$ l^2 = h^2 + r^2 $$。
• 圓錐體： 表面面積係圓形底面嘅面積加上彎曲頂部嘅面積。
$$ SA = \text{Area of Base} + \text{Area of Curved Surface} $$
$$ SA = \pi r^2 + \pi r l $$
常見錯誤警報！記住，喺計算曲面面積時，永遠要用斜高 (l)，而唔係垂直高度 (h)！
• 角錐體： 表面面積係底面面積加上所有側面三角形面嘅面積。
$$ SA = \text{Area of Base} + \text{Area of all triangular faces} $$
球體嘅表面面積
呢個係另一個要學習嘅特別公式。
公式：
$$ SA = 4 \pi r^2 $$你知唔知？一個球體嘅表面面積正好係相同半徑圓形面積嘅四倍！就好似一個籃球嘅表面面積，啱啱好可以鋪滿四個同大細嘅平面圓形咁！
重點提示：
表面面積就係搵出物件「外皮」嘅面積。將形狀拆解成佢嘅平面部分（圓形、長方形、三角形），搵出每個部分嘅面積，再將佢哋全部加起嚟就得喇。
第五部分：進階形狀 — 平截頭體同複合圖形
複合圖形
呢啲係由兩個或以上簡單形狀組合而成嘅物件。想像一支火箭（一個圓柱體上面加一個圓錐體）或者一個雪糕球放喺雪糕筒上面。
策略：
1. 將物件拆解成佢嘅簡單形狀。
2. 分別計算每個形狀嘅體積或表面面積。
3. 將佢哋加起嚟就得喇！
表面面積要注意！當你將唔同形狀組合埋一齊時，有啲表面會被「隱藏」。唔好計算被遮蓋住嘅表面面積！例如，對於火箭嚟講，你就唔會計算圓柱體頂部嘅圓形或者圓錐體底部嘅圓形。
咩係平截頭體？
平截頭體係當你用一個平行於底面嘅切割，將一個角錐體或圓錐體嘅頂部切走之後，剩低嘅部分。想像一個水桶、一個燈罩，或者一個俾人切走尖頂嘅交通錐。
點樣搵平截頭體嘅體積：
呢個睇落好難，但其實個概念好簡單：用減法！
步驟1： 想像被切割前，完整嘅角錐體或圓錐體。
步驟2： 計算呢個大嘅、原始形狀嘅體積。
步驟3： 計算被切走嘅小角錐體/圓錐體嘅體積。
步驟4： 用大體積減去小體積。
$$ V_{\text{frustum}} = V_{\text{big cone}} - V_{\text{small cone}} $$你通常需要運用相似三角形嘅概念，嚟搵出被移除嘅小圓錐體嘅高度。
第六部分：相似圖形與比例縮放
相似圖形係指形狀完全相同但大細唔同嘅物件。想像一架玩具車同佢真實版嘅汽車。
當你改變一個形狀嘅大細時，佢嘅面積同體積會以一種可預測嘅方式改變。假設我哋有兩個相似形狀，而佢哋長度（例如高度或半徑）嘅比例係 k。
$$ \text{長度比例} = \frac{L_2}{L_1} = k $$面積點樣變化：
如果你將一個形狀嘅長度加倍，佢嘅面積就會大足足四倍！面積會隨長度比例嘅平方而改變。
$$ \text{面積比例} = \frac{A_2}{A_1} = k^2 $$體積點樣變化：
如果你將一個形狀嘅長度加倍，佢嘅體積就會大足足八倍！體積會隨長度比例嘅立方而改變。
$$ \text{體積比例} = \frac{V_2}{V_1} = k^3 $$分步例子：
兩個球體相似。球體A嘅半徑係2厘米，球體B嘅半徑係6厘米。1. 搵出長度比例 (k)：
$$ k = \frac{\text{球體B半徑}}{\text{球體A半徑}} = \frac{6}{2} = 3 $$2. 搵出佢哋表面面積嘅比例：
$$ \text{面積比例} = k^2 = 3^2 = 9 $$呢個意思係球體B嘅表面面積比球體A大9倍。
3. 搵出佢哋體積嘅比例：
$$ \text{體積比例} = k^3 = 3^3 = 27 $$呢個意思係球體B嘅體積比球體A大27倍！
重點提示：
對於相似形狀，如果長度比例係 k：
• 面積比例係 k²。
• 體積比例係 k³。
呢個係解決問題嘅一個強大捷徑！