歡迎來到面積與體積的世界！

同學你好！準備好探索三維圖形的奇妙世界吧。在這個課題中，我們將會學習面積和體積。

你可以這樣想像：
- 面積就像你需要多少油漆才能塗滿一個盒子的外面。它是一個二維（平面）的量度。
- 體積就像你可以倒入多少沙子才能填滿同一個盒子的裡面。它是一個三維（佔據空間）的量度。

為甚麼這些知識有用？嗯，了解面積和體積有助於人們設計建築物、計算泳池的水量，甚至計算一個蛋糕需要多少糖霜！我們開始吧。


第一部分：二維面積公式速覽

在我們深入三維世界之前，讓我們先快速回顧一下一些平面圖形的面積。你計算三維圖形時會用到這些知識！

長方形的面積

這是長方形內部所佔的空間。
公式： $$Area = length \times width$$

三角形的面積

三角形就像是被切開一半的長方形！
公式： $$Area = \frac{1}{2} \times base \times height$$

圓形的面積與圓周

圓周是圓形邊緣的長度。面積是圓形內部所佔的空間。從圓心到圓邊的距離是半徑 (r)。
圓周公式： $$C = 2 \pi r$$
面積公式： $$A = \pi r^2$$

重點提要

記住這些基本的二維面積公式是掌握三維圖形的第一步。它們是之後所有知識的基石！


第二部分：歡迎來到三維世界！

現在來到有趣的部分了！三維圖形有長度、闊度和高度。讓我們先學習兩個關鍵詞：

體積：三維物體所佔據的空間大小。它以立方單位（例如cm³或m³）量度。（想想：裡面能裝多少東西？）

表面面積：三維物體所有面（或表面）的總面積。它以平方單位（例如cm²或m²）量度。（想想：你需要多少紙才能把它包裝起來？）

關於高的小提示：在本課題中，「高」通常指垂直高——即從底面到頂部的垂直距離，而不是斜邊的長度。


第三部分：角柱體和圓柱體（「可堆疊」的形狀）

角柱體是一種兩端有相同平面形狀的三維圖形。圓柱體類似，但其兩端是圓形。你可以想像它們是由一個二維圖形不斷堆疊而成的。

角柱體和圓柱體的體積

這是最容易記住的體積公式。由於這些形狀是「可堆疊」的，你只需找出底面的面積並乘以高就對了！

體積的主要公式

$$Volume = Area_{base} \times height$$

例子一：長方角柱體（一個盒子）
底面是一個長方形（面積 = 長 × 闊）。
$$Volume = (length \times width) \times height$$

例子二：圓柱體（一個罐子）
底面是一個圓形（面積 = πr²）。
$$Volume = (\pi r^2) \times height$$

角柱體和圓柱體的表面面積

要找出表面面積，想像把形狀展開成一個平面圖樣（這稱為「展開圖」）。然後你只需把所有平面部分的面積加起來。

直立角柱體的表面面積

公式是兩個端面的面積，加上長方形側面的面積。
$$Surface \ Area = (2 \times Area_{base}) + (Perimeter_{base} \times height)$$

圓柱體的表面面積

想像把一個罐子展開。你會得到兩個圓形（頂部和底部）和一個大長方形，它就是罐子的彎曲側面。
$$Surface \ Area = \underbrace{2 \pi r^2}_{\text{頂部和底部圓形}} + \underbrace{2 \pi r h}_{\text{彎曲長方形側面}}$$

角柱體和圓柱體的重點提要

對於體積，它總是（底面積）×（高）。對於表面面積，把它想成包裝紙——找出兩端面的面積，然後加上側面的面積。


第四部分：角錐體和圓錐體（「尖頂」的形狀）

角錐體有一個平面底面和三角形的側面，這些側面在一個點（頂點）相交。圓錐體類似，但它有一個圓形底面。

角錐體和圓錐體的體積

這裡有一個有趣的事實：圓錐體的體積剛好是同底、同高圓柱體體積的三分之一！角錐體和角柱體之間也是如此。

體積的主要公式

$$Volume = \frac{1}{3} \times Area_{base} \times height$$

例子一：一個方錐體（底面為正方形的角錐體）
底面是一個正方形（面積 = 邊長 × 邊長）。
$$Volume = \frac{1}{3} \times (side^2) \times height$$

例子二：一個圓錐體
底面是一個圓形（面積 = πr²）。
$$Volume = \frac{1}{3} \times (\pi r^2) \times height$$

角錐體和圓錐體的表面面積

對於尖頂形狀，我們需要一個新的量度：斜高 (l)。這是從頂點沿著斜面中心到底面邊緣的長度。它與垂直高 (h) 不同。

直立角錐體的表面面積

你把底面的面積加上所有側面三角形的面積。
$$Surface \ Area = Area_{base} + Area_{all \ triangular \ faces}$$

圓錐體的表面面積

圓錐體的展開圖是一個圓形（底面）和一個扇形（彎曲表面）。
$$Surface \ Area = \underbrace{\pi r^2}_{\text{圓形底面}} + \underbrace{\pi r l}_{\text{彎曲表面}}$$

溫馨提示：常見錯誤！

切勿混淆垂直高 (h) 和斜高 (l)！
- h 是從底面中心到頂點的垂直高度。
- l 是沿著形狀表面測量的斜向高度。
它們與半徑 (r) 形成一個直角三角形，因此如果你知道其中兩個，你通常可以使用畢氏定理 ($$r^2 + h^2 = l^2$$) 來找出第三個。

角錐體和圓錐體的重點提要

體積很簡單：只是角柱體/圓柱體版本的1/3。對於表面面積，請記住你需要斜高 (l)，而不是垂直高 (h)，來計算斜面部分。


第五部分：球體（完美的球）

球體是一個完美圓形的三維物體，就像一個籃球。它沒有平面底面，所以它的公式有點不同。你只需要知道它的半徑 (r) 就可以了。

球體的體積

這就是公式。一個好記的方法是，體積是三維的，所以半徑是三次方。
$$Volume = \frac{4}{3}\pi r^3$$

球體的表面面積

這個公式很巧妙。
$$Surface \ Area = 4\pi r^2$$

你知道嗎？

球體的表面面積剛好是同半徑圓形面積的四倍！你可以用四個與球體大小相同的平面圓形完美地包裹一個球。

球體的重點提要

這些是純粹需要背誦的公式。對於體積，它是`4/3 π r³`。對於表面面積，它是`4 π r²`。你只需要半徑！


第六部分：平截頭體（「被截斷」的形狀）

別擔心，它聽起來比實際要難，但其實不然！平截頭體就是一個被平行於底面切掉頂部的角錐體或圓錐體。想像一下水桶或燈罩。

如何解平截頭體問題

竅門就是把它想成一個「大形狀減去小形狀」的問題。想像一下在被切割之前，那個完整的大角錐體或大圓錐體。

體積的逐步計算方法

1. 計算原始的、大的圓錐體／角錐體的體積。
2. 計算從頂部被移除的小圓錐體／角錐體的體積。
3. 從大體積中減去小體積！
$$Volume_{frustum} = Volume_{large \ shape} - Volume_{small \ shape}$$

表面面積的計算方法

這是類似的想法。總表面面積是：
$$SA_{frustum} = Area_{large \ base} + Area_{small \ base} + (Slanted \ Area_{large \ shape} - Slanted \ Area_{small \ shape})$$

要解決這些問題，你通常需要使用相似三角形來找出被切掉的小形狀的高度或斜高。


第七部分：相似圖形（放大與縮小）

如果兩個三維圖形形狀完全相同，但大小不同，那麼它們就是相似圖形。想像一下玩具車和真車。它們對應長度的比率總是相同的。

比例換算的黃金法則

假設兩個相似圖形的長度（例如高或半徑）比率是a : b。

法則一：面積比
它們的表面面積比將是a² : b²。
例子：如果你把一個圓錐體的高度加倍（1:2 的比率），它的表面面積將會大四倍（1²:2² = 1:4 的比率）。

法則二：體積比
它們的體積比將是a³ : b³。
例子：如果你把一個圓錐體的高度加倍（1:2 的比率），它的體積將會大八倍（1³:2³ = 1:8 的比率）。

如何解決相似圖形問題

1. 找出長度的比率，a : b。
2. 如果問題是關於面積，使用比率 a² : b²。
3. 如果問題是關於體積，使用比率 a³ : b³。
4. 建立比例並解出未知數。

相似圖形的重點提要

長度是一維的 (a:b)。面積是二維的 (a²:b²)。體積是三維的 (a³:b³)。只需記住，面積要將比率平方，體積則要將比率立方！