歡迎來到面積與體積嘅世界！
各位同學好！準備好探索平面圖形同立體圖形嘅奇妙世界未？喺呢個單元，我哋將會學習面積同體積。咁，點解呢啲咁重要呢？想像一下，如果你想油油間房，你需要知道牆壁嘅面積，先可以買到啱啱好嘅油漆份量。又或者，如果你要灌滿一個泳池，你就要知道佢嘅體積，先可以計到裝到幾多水。睇吓？呢啲知識喺日常生活入面超有用㗎！初頭覺得有啲難都唔使擔心。我哋會將佢拆解成簡單嘅步驟，用有趣嘅例子，到最後你就會成為量度圖形嘅高手啦！我哋一齊開始啦。
第一部分：快速重溫二維圖形
喺我哋跳入三維世界之前，等我哋快速重溫平面二維圖形嘅基本概念啦。呢個係所有知識嘅基礎嚟㗎。
周界：邊界嘅長度
你可以將周界想像成沿住一個圖形嘅邊界行一圈。佢就係邊界嘅總長度。
例子：圍繞花園嘅圍欄長度就係佢嘅周界。
面積：內部嘅空間
面積係一個圖形所覆蓋嘅平面空間量。佢以平方單位量度，好似 $$cm^2$$ 或者 $$m^2$$。
例子：舖設地毯所需嘅面積就係地板嘅面積。
快速重溫盒：基本面積公式
你可能以前見過呢啲公式，但呢度有一份方便你記住嘅清單！
正方形： $$ A = \text{side} \times \text{side} = s^2 $$
長方形： $$ A = \text{length} \times \text{width} = l \times w $$
三角形： $$ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2}bh $$
圓形： $$ A = \pi \times \text{radius}^2 = \pi r^2 $$
圓周： $$ C = 2 \times \pi \times \text{radius} = 2\pi r $$
第二部分：圓形嘅切片—弧形同扇形
而家我哋集中睇圓形嘅一部分。呢度就好玩啦！
咩係弧形同扇形？
想像一下一件薄餅 (pizza)。一塊薄餅就叫做扇形。嗰塊薄餅嘅餅邊就叫做弧形。
- 扇形：圓形嘅一個切片，好似一塊批咁。
- 弧形：圓周嘅一部分，好似薄餅邊咁。
點樣計算弧長
弧長只係成個圓周嘅一部分。呢個部分嘅大小取決於圓心角（我哋叫佢做 $$\theta$$）。
逐步指南：
1. 搵出圓形所佔嘅分數。成個圓形係 $$360^\circ$$，所以分數係 $$\frac{\theta}{360}$$。
2. 用公式 $$C = 2\pi r$$ 搵出成個圓形嘅圓周。
3. 將分數乘以成個圓周。
公式：
$$ \text{弧長} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r $$點樣計算扇形面積
都係一樣嘅道理！扇形面積只係成個圓形面積嘅一部分。
逐步指南：
1. 搵出圓形所佔嘅分數：$$\frac{\theta}{360}$$。
2. 用公式 $$A = \pi r^2$$ 搵出成個圓形嘅面積。
3. 將分數乘以成個面積。
公式：
$$ \text{扇形面積} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $$將所有嘢結合：複合圖形
一個複合圖形係由兩個或更多基本圖形組成嘅形狀。例如，一個由長方形同兩個半圓形組成嘅溜冰場形狀。
秘訣好簡單：將個又大又奇怪嘅形狀，拆解成你已經識得計嘅細小、簡單圖形！
例子：要搵出一個「溜冰場」形狀嘅面積，你可以計中間長方形嘅面積，然後計兩邊兩個半圓形嘅面積 (加埋就係一個完整圓形)，最後將佢哋全部加埋就得啦。
第二部分重點
要搵弧長或扇形面積，只需搵出成個圓形嘅量度結果，再乘以你想要嘅圓形部分所佔嘅分數（$$\frac{\theta}{360}$$）。對於複合圖形，拆解佢哋就得啦！
第三部分：歡迎來到三維世界—搵體積
而家我哋由平面圖形轉到立體物件。體積係一個立體物件所佔嘅空間量。
比喻：你可以將體積想像成一個物件入面可以裝到幾多水、沙或者空氣。佢以立方單位量度，好似 $$cm^3$$ 或者 $$m^3$$。
柱體同圓柱體
呢啲形狀嘅底部同頂部都有相同嘅底面。
- 一個柱體以多邊形作為底面（好似三角形或者長方形）。想像一下三角朱古力盒（三角柱體）或者鞋盒（長方柱體）。
- 一個圓柱體以圓形作為底面。想像一下汽水罐。
記憶小貼士：萬能公式！
對於任何柱體或圓柱體，體積都超級容易搵到：
所以對於圓柱體嚟講，底面係圓形（$$\pi r^2$$），咁我哋就有：
$$ V_{cylinder} = (\pi r^2) \times h $$角錐體同圓錐體
呢啲係「尖頂」形狀。佢哋底部有底面，頂部會收窄成一個單點（頂點）。
- 一個角錐體有多邊形底面。想像一下埃及嘅大金字塔。
- 一個圓錐體有圓形底面。想像一下雪糕筒。
記憶小貼士：「三分一」法則！
一個角錐體或者圓錐體嘅體積，係相同底面同高度嘅柱體或圓柱體體積嘅三分之一 (1/3)。好似變魔術咁神奇！
所以對於圓錐體嚟講，公式係：
$$ V_{cone} = \frac{1}{3} (\pi r^2) \times h $$球體
一個球體係一個完美嘅圓球體，好似籃球或者行星。
呢個公式有少少唔同，你只需要記住佢就得啦。但佢好正㗎！
$$ V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi r^3 $$常見錯誤提示！留意球體體積嘅半徑係立方（$$r^3$$），而唔係平方（$$r^2$$）！
第三部分重點
對於體積，記住兩個主要概念：
1. 柱體/圓柱體：底面積 × 高度。
2. 角錐體/圓錐體：佢哋只係同底同高柱體/圓柱體體積嘅 1/3 咋！
第四部分：外表嘅故事—表面面積
表面面積係一個立體物件所有外表面嘅總面積。
比喻：你可以想像成完美咁包裝一份禮物所需嘅包裝紙份量。佢以平方單位（$$cm^2$$，$$m^2$$）量度，好似普通面積咁。
最佳策略：想像你可以將立體形狀「展開」成一個平面二維圖案（呢個叫做「展開圖」）。然後你只需搵出展開圖每個部分嘅面積，然後將佢哋全部加埋就得啦！
柱體同圓柱體
- 柱體：展開佢！一個長方柱體（一個盒）會展開成 6 個長方形。只需搵出每個面嘅面積，然後加埋佢哋。
- 圓柱體：一個圓柱體會展開成兩個圓形（頂部同底部）同一個大長方形（彎曲嘅側面）。
- 兩個圓形嘅面積 = $$2 \times \pi r^2$$
- 長方形嘅面積 = $$ (2\pi r) \times h $$ （長方形嘅長度就係圓形嘅圓周！）
角錐體同圓錐體
對於呢啲形狀，我哋需要一個新嘅量度：斜高 (l)。呢個係由圓錐體/角錐體嘅頂點沿住側面到底面邊緣嘅長度。佢同正常嘅高度 (h) 係唔同㗎！
- 角錐體：表面面積係底面積 + 所有三角形側面嘅面積。
- 圓錐體：佢會展開成一個圓形（底面）同一個扇形嘅形狀（彎曲嘅表面）。
- 底面積 = $$\pi r^2$$
- 彎曲表面嘅面積 = $$\pi r l$$
球體
呢個係另一個要記住嘅，但佢好優雅㗎！
$$ SA_{sphere} = 4 \pi r^2 $$你知唔知？球體嘅表面面積竟然同四個相同半徑嘅圓形面積完全一樣！好型吖嘛？
第四部分重點
表面面積係形狀「外皮」嘅面積。解決呢啲問題嘅最佳方法係思考形狀嘅展開圖（即係佢展開之後嘅樣），然後將每塊平面部分嘅面積加埋。
第五部分：進階圖形同精彩連結
等我哋睇吓一啲更進階嘅課題，將我哋所有嘅知識串連埋一齊。
平截頭體：被切走頂部嘅圓錐體
一個平截頭體係當你將角錐體或圓錐體嘅頂部切走之後得到嘅形狀。想像一下燈罩或者水桶。
計算佢嘅體積或者表面面積聽落好似好難，但有個簡單嘅小秘訣：
「大形狀減小形狀」法
想像原本完整嘅圓錐體（即係「大圓錐體」）。而家想像被切走嘅細圓錐體。
- 平截頭體嘅體積 = (大圓錐體嘅體積) - (細圓錐體嘅體積)
- 平截頭體嘅表面面積 = (大圓錐體嘅曲面面積) - (細圓錐體嘅曲面面積) + (頂部圓形嘅面積) + (底部圓形嘅面積)
相似圖形：相同形狀，唔同大小
如果兩個三維圖形其中一個只係另一個嘅放大或縮小版本，咁佢哋就係相似圖形。例如，一架細嘅玩具車同佢模仿嘅真實汽車。
有一啲好重要嘅法則，將佢哋嘅長度、面積同體積連結埋一齊。如果佢哋對應長度（好似高度或者半徑咁）嘅比例係 $$L_1 : L_2$$，咁：
- 佢哋表面面積嘅比例係 $$ (L_1)^2 : (L_2)^2 $$
- 佢哋體積嘅比例係 $$ (L_1)^3 : (L_2)^3 $$
簡單記憶法：
- 長度係一維（只係一條線）。
- 面積係二維（以 $$cm^2$$ 量度），所以你要將長度比例平方。
- 體積係三維（以 $$cm^3$$ 量度），所以你要將長度比例立方。
第五部分重點
複雜嘅問題通常都可以用簡單嘅小技巧嚟解決。對於平截頭體，諗下減法。對於相似圖形，記住面積要平方個比例，體積要立方個比例。