歡迎來到度量估算！
各位同學好！你有沒有試過猜猜罐子裡有多少糖果？或者在結賬前估計一下錢夠不夠用？這就是估算！在本章中，我們將會成為數學估算的專家，學習如何做出精明又準確的估計。
為甚麼這很重要？在現實生活中，我們不總是需要一個完美、精確的答案。有時候，一個好的估計（即約數）更快，而且同樣有用。這項技能將在購物、烹飪、計劃旅程，甚至在科學課上幫助你。所以，讓我們一起投入學習，成為估算達人吧！
第一部分：約數與估算策略
讓我們先從基礎開始。並非所有數字都一樣。有些是精確的，有些只是足夠接近。
甚麼是約數？
精確值是指一個絕對精確的數字。例如，一打雞蛋剛好有12隻。
約數是一個接近精確值，但已經簡化了的數字。例如，一個城市的人口可能是7,845,123（精確值），但我們通常會說『約780萬』（約數）。
我們使用約數來使數字更容易處理。主要的方法就是四捨五入。
四捨五入：你的必備工具
四捨五入是近似數字最常用的方法。你可以這樣想：如果你站在兩盞街燈之間，四捨五入就像是決定你離哪盞燈比較近。
四捨五入的黃金法則：
「夠五要進一，不足五捨去。」
以下是它的運作方式，一步步來：
- 找出你需要四捨五入的位數（我們稱之為「捨入位」）。
- 查看它右邊緊鄰的數字（「決定位」）。
- 如果「決定位」是5、6、7、8或9，你便將「捨入位」進位1。
- 如果「決定位」是0、1、2、3或4，你便保持「捨入位」不變。
- 「捨入位」右邊的所有數字都變為零（如果它們在小數點後，則直接捨去）。
四捨五入至小數點後位（d.p.）
這表示我們只想要小數點後有特定位數的數字。
例子：將7.834四捨五入至小數點後1位。
1. 小數點後第一位是8。這是我們的「捨入位」。
2. 它右邊的數字是3。這是我們的「決定位」。
3. 由於3是「不足五」，我們「捨去」。8保持不變。
4. 所以，7.834 ≈ 7.8（準確至小數點後1位）
例子：將15.279四捨五入至小數點後2位。
1. 小數點後第二位是7。
2. 它右邊的數字是9。
3. 由於9是「夠五」，我們「進位」。7變成8。
4. 所以，15.279 ≈ 15.28（準確至小數點後2位）
四捨五入至有效數字（sig. fig. 或 s.f.）
這個可能會有點難搞，所以就算一時未能完全明白也不用擔心！「有效」在這裡的意思就是「重要」。這些數字賦予一個數值其大小和準確性。
如何數算有效數字：
- 規則1：所有非零數字（1-9）永遠是有效數字。（例如，在12.3中，有3個有效數字）
- 規則2：非零數字之間的零是有效數字。（例如，在506中，有3個有效數字）
- 規則3：數字最開頭的零不是有效數字。（例如，在0.045中，只有2個有效數字——4和5）
- 規則4：只有當數字有小數點時，結尾的零才是有效數字。（例如，2.50有3個有效數字，但2500只有2個有效數字，除非另有說明！）
例子：將47,812四捨五入至2個有效數字。
1. 首兩個有效數字是4和7。所以，7是我們的「捨入位」。
2. 它右邊的數字是8。
3. 由於8是「夠五」，我們「進位」。7變成8。
4. 它之後的數字（8、1、2）都變成零來作為佔位符。
5. 所以，47,812 ≈ 48,000（準確至2個有效數字）
例子：將0.05264四捨五入至3個有效數字。
1. 首個有效數字是5（我們忽略開頭的零）。首三個是5、2和6。所以，6是我們的「捨入位」。
2. 它右邊的數字是4。
3. 由於4是「不足五」，我們「捨去」。6保持不變。
4. 所以，0.05264 ≈ 0.0526（準確至3個有效數字）
其他估算策略
有時候，我們不單單是四捨五入到最接近的數值。實際情況會告訴我們該怎麼做！
向上取整：當你需要確保擁有足夠的某物時，你會這樣做。
例子：學校旅行需要巴士接載42位學生。每輛巴士可載20位學生。需要多少輛巴士？
計算：$$42 \div 20 = 2.1$$
你不可能租用2.1輛巴士！如果向下取整到2輛，就會有學生不能上車。你必須向上取整到3輛巴士，以確保所有學生都能去。
向下取整：當你不能超過某個限額，或者想知道可以湊成多少個完整組合時，你會這樣做。
例子：你有$50。你想買每件$12的T恤。你可以買多少件？
計算：$$50 \div 12 = 4.166...$$
你沒有足夠的錢買5件T恤。你必須向下取整到4件。
第一部分主要內容總結
約數能讓數字變得簡單。四捨五入是你的主要工具（記住「夠五要進一」）。對於現實生活中的問題，你需要考慮實際情況來決定是向上取整（確保足夠）還是向下取整（在限制範圍內）。
第二部分：測量誤差
你有沒有試過精確地測量某樣東西？那是不可能的！每一次測量，無論多麼仔細，都會帶有微小的誤差。理解這一點能幫助我們知道測量結果的真正準確度。
最大絕對誤差
這聽起來很複雜，但它只是一個給定測量中最大可能誤差。它取決於你的測量工具的精確程度。
規則：最大絕對誤差是測量工具上最小刻度單位（「準確度」）的一半。
例子：你用尺測量一條線，結果是10厘米，準確至最接近的厘米。
最小單位（準確度）是1厘米。
最大絕對誤差 = $$ \frac{1}{2} \times 1 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm} $$
這表示實際長度並非剛好10厘米。它可能比10厘米大0.5厘米，或小0.5厘米。這給了我們實際數值的範圍：
下限：$$10 - 0.5 = 9.5 \text{ cm}$$
上限：$$10 + 0.5 = 10.5 \text{ cm}$$
所以，實際長度介乎9.5厘米和10.5厘米之間（但不包括10.5厘米本身！）。
相對誤差與百分誤差
如果你正在測量一隻螞蟻，0.5厘米的誤差是相當大的；但如果你在測量一個足球場，那誤差就非常小了。我們需要一種方法來評估誤差的大小。這就是相對誤差和百分誤差的用武之地！
相對誤差比較誤差的大小與測量值的大小。
$$ \text{相對誤差} = \frac{\text{最大絕對誤差}}{\text{測量值}} $$
使用我們10厘米線的例子：
$$ \text{相對誤差} = \frac{0.5 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 0.05 $$
百分誤差只是將相對誤差轉換為百分比，這樣更容易理解。
$$ \text{百分誤差} = \text{相對誤差} \times 100\% $$
對於我們10厘米的線：
$$ \text{百分誤差} = 0.05 \times 100\% = 5\% $$
這告訴我們，我們的測量結果在5%的準確度內。
讓我們來嘗試一個完整的問題！
一隻小狗的體重被測量為2.4公斤，準確至0.1公斤。找出百分誤差。
步驟1：找出最大絕對誤差。
準確度是0.1公斤。
最大絕對誤差 = $$ \frac{1}{2} \times 0.1 \text{ kg} = 0.05 \text{ kg} $$
步驟2：找出相對誤差。
測量值是2.4公斤。
相對誤差 = $$ \frac{0.05}{2.4} $$
步驟3：找出百分誤差。
百分誤差 = $$ \frac{0.05}{2.4} \times 100\% \approx 2.08\% $$ （準確至3個有效數字）
你知道嗎？
科學家和工程師經常使用百分誤差！如果科學家的實驗百分誤差很小，他們就知道結果是可靠的。如果很大，他們就知道需要改進方法。
第二部分主要內容總結
沒有測量是完美的！最大絕對誤差是最小測量單位的一半。相對誤差和百分誤差告訴我們該誤差相對於測量值本身的重要性。百分誤差越小，測量結果就越精確。
第三部分：聰明估算——選擇你的策略
既然你已經掌握了這些工具，現在讓我們學習如何成為一名「數學偵探」吧。最佳策略取決於你正在解決的問題。你必須在情境中尋找線索！
何時使用哪種策略？
問自己：「我的估算過高或過低會有甚麼後果？」
- 當低估會造成問題時，使用向上取整。
例子：你正在買油漆。牆壁需要2.2公升油漆。油漆以1公升罐裝出售。如果你向下取整到2公升，油漆就不夠用了！你必須向上取整，買3罐。 - 當高估會造成問題時，使用向下取整。
例子：你每月有500 MB的數據計劃。你想下載一些影片，每段80 MB。你可以下載多少段？$$500 \div 80 = 6.25$$。你不能下載7段影片，因為那會超出你的限額。你必須向下取整到6段影片。 - 當你只需要一個快速、接近的答案時，使用四捨五入。
例子：你想估算你的購物賬單。你有售價為$29.90、$12.10和$18.50的商品。你可以將它們四捨五入到$30、$12和$19，以獲得快速估計：$$30 + 12 + 19 = $61$$。
使用估算來檢查你的答案
估算也是發現錯誤的超能力！
想像你在考試中計算出：$$ 58.7 \times 9.6 = 5635.2 $$
這看起來對嗎？讓我們快速估算一下：
$$ 58.7 \approx 60 $$
$$ 9.6 \approx 10 $$
估算答案：$$ 60 \times 10 = 600 $$
你計算出的答案是5635.2，但估算出的答案是600。它們根本不接近！這告訴你，你可能在計算中犯了錯誤（例如，小數點放錯了位置）。正確答案是563.52，這與我們的估算非常接近。
第三部分主要內容總結
估算是一種思考工具，而不僅僅是一套規則。仔細閱讀問題，理解其情境。這會告訴你該向上取整、向下取整，還是取最接近的數值。務必使用估算來再次檢查你的計算結果是否合理！