百分比應用超強攻略！
哈囉！各位同學，準備好掌握百分比的超能力了嗎？它聽起來可能只是另一個數學課題，但百分比在現實生活中無處不在。從計算你最愛商店的折扣，到了解手機的電池續航力，甚至計算儲蓄的利息——百分比都非常有用！
在這些筆記中，我們會把所有內容拆解成易於理解的步驟。我們會探討事物如何變化（例如價格上升或下降），並解決現實世界的問題。如果你覺得數學有點難，不用擔心，我們會一起努力！你一定可以的！
1. 甚麼是百分比？（快速重溫）
「百分比」（Percent）這個詞字面上的意思就是「每100份」。所以，百分比其實是一種特殊的「分數」，其底部的數字（即分母）永遠是100。
想像一個巨型薄餅切成100塊。如果你吃了25塊，那就代表你吃了100塊中的25塊，也就是這個薄餅的25%！
形式轉換
要成為百分比高手，你需要懂得在百分比、小數和分數之間互相轉換。以下是快速提示：
- 百分比轉換為小數：除以100（或者把小數點向左移動兩個位）。
例子：75% 變成 0.75 - 小數轉換為百分比：乘以100（或者把小數點向右移動兩個位）。
例子：0.4 變成 40% - 百分比轉換為分數：將數字放在100之上，然後盡可能約簡。
例子：50% 變成 $$ \frac{50}{100} $$ 約簡後是 $$ \frac{1}{2} $$
2. 百分比變化：數字的升跌
這是本章最重要的概念！百分比變化告訴我們一個數量相對於其「原有數量」增加了多少或減少了多少。
百分增長
這是指數值變大的情況。想像一下遊戲價格上漲，或者你長高了！
公式：
$$ \text{百分增長} = \frac{\text{增長量}}{\text{原有數量}} \times 100\% $$逐步例子：
去年一張演唱會門票售價為 $500。今年售價為 $550。請問票價的百分增長是多少？
- 找出增長：價格上升了多少？
$$ $550 - $500 = $50 $$ - 使用公式：將增長除以原有價格。
$$ \frac{\text{增長}}{\text{原有數量}} = \frac{$50}{$500} = 0.1 $$ - 轉換為百分比：將答案乘以 100%。
$$ 0.1 \times 100\% = 10\% $$
答案：門票價格上升了10%。
百分減少
這是指數值變小的情況。這會發生在物品打折促銷時，或者當你的手機電量下降時。
公式：
$$ \text{百分減少} = \frac{\text{減少量}}{\text{原有數量}} \times 100\% $$逐步例子：
一件T恤原價為 $120，但現在以 $90 發售。請問百分減少是多少？
- 找出減少：價格下降了多少？
$$ $120 - $90 = $30 $$ - 使用公式：將減少除以原有價格。
$$ \frac{\text{減少}}{\text{原有數量}} = \frac{$30}{$120} = 0.25 $$ - 轉換為百分比：乘以 100%。
$$ 0.25 \times 100\% = 25\% $$
答案：T恤價格下降了25%。
百分比變化：快速溫習
最重要的規則是永遠都要除以原有數量。無論是增長還是減少，起始值都是你的基準。一個常見的錯誤是除以新數量——千萬不要犯這個錯誤！
重點：百分比變化就是關於將變化與其起始點進行比較。
3. 解決日常生活問題
現在讓我們運用所學知識，應對一些常見的現實世界情況。這就是數學變成超能力的地方！
3.1 折扣、盈利與虧蝕
這一切都與購物和商業世界息息相關！
折扣
「折扣」是一種百分比減少。它是從原價中減去的金額。
例子：一對耳機售價為 $800。它現以八折（20%折扣）出售。請問售價是多少？
方法一：先計算折扣金額。
- 計算折扣： $$ 20\% \text{ of } $800 = 0.20 \times $800 = $160 $$
- 從原價中減去： $$ $800 - $160 = $640 $$
方法二：快捷方法！
- 找出你需要支付的百分比：如果有20%折扣，你仍然需要支付價格的 $$ 100\% - 20\% = 80\% $$。
- 計算最終價格： $$ 80\% \text{ of } $800 = 0.80 \times $800 = $640 $$
兩種方法都可行！一旦你掌握了快捷方法，它會更快。
盈利與虧蝕
讓我們學習一些商業用語：
- 成本價（CP）：商店購買商品的價格。
- 售價（SP）：商店將商品出售給你的價格。
- 盈利：如果售價高於成本價（SP > CP）。
- 虧蝕：如果售價低於成本價（SP < CP）。
百分比盈利/虧蝕公式：
$$ \text{百分比盈利} = \frac{\text{盈利}}{\text{成本價}} \times 100\% $$ $$ \text{百分比虧蝕} = \frac{\text{虧蝕}}{\text{成本價}} \times 100\% $$常犯錯誤提醒！永遠、永遠、永遠都要以成本價作為原有數量來計算百分比盈利或虧蝕。它是商店的起始點！
例子：一間商店以 $400（成本價）買入一隻手錶，並以 $500（售價）出售。請問百分比盈利是多少？
- 找出盈利： $$ \text{盈利} = SP - CP = $500 - $400 = $100 $$
- 使用公式： $$ \text{百分比盈利} = \frac{$100}{$400} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\% $$
答案：商店獲得了25%的盈利。
3.2 增長與折舊
有些東西會隨時間增值（增長），而另一些則會貶值（折舊）。
- 增長例子：城市人口、銀行儲蓄。
- 折舊例子：新車或手機一年後的價值。
例子（增長）：一個城鎮的人口是10,000人。預計明年將增長5%。請問新人口將會是多少？
這只是5%的增長！我們可以運用快捷方法。
新人口 = 原有數量 × (100% + 增長百分比)
$$ = 10,000 \times (100\% + 5\%) $$
$$ = 10,000 \times 105\% $$
$$ = 10,000 \times 1.05 = 10,500 $$
例子（折舊）：你買了一部新手機，價格為 $6,000。它在第一年折舊了30%。請問一年後它的價值是多少？
這是30%的減少。
新價值 = 原有價值 × (100% - 折舊百分比)
$$ = $6,000 \times (100\% - 30\%) $$
$$ = $6,000 \times 70\% $$
$$ = $6,000 \times 0.70 = $4,200 $$
3.3 單利息與複利息
當你把錢存入銀行，它會賺取利息。主要有兩種：
單利息
你只會從你存入的原有金額（本金）中賺取利息。每年賺取的利息金額都相同。
關鍵詞彙：
- 本金（P）：起始的金額。
- 利率（R）：每年資金增長的百分比。（記住，在公式中要將它轉換成小數！）
- 時間（T）：資金投資的年數。
公式： $$ \text{單利息 (I)} = P \times R \times T $$
例子：你將 $2,000（P）存入銀行戶口，年單利率為 3%（R），為期4年（T）。你將賺取多少利息？
- 將R轉換為小數： $$ 3\% = 0.03 $$
- 使用公式： $$ I = $2,000 \times 0.03 \times 4 = $240 $$
答案：在4年內，你將賺取$240的單利息。
複利息
這個威力更強大！你不但能從本金賺取利息，還能從你已賺取的利息中賺取利息。你的錢會開始「錢生錢」！
小知識：
據說愛因斯坦稱複利息為「世界第八大奇蹟」。它是儲蓄能在長時間內大幅增長的秘密！
總金額（A）的公式：
$$ A = P(1 + R)^n $$其中 n 是複利計算的次數（通常是年數）。
例子：讓我們使用相同的數字。你存入 $2,000（P），年利率為 3%（R），為期4年（n），但這次是每年複利計算。你戶口中的總金額是多少？
- 將R轉換為小數： $$ 3\% = 0.03 $$
- 使用公式： $$ A = $2,000 \times (1 + 0.03)^4 $$ $$ A = $2,000 \times (1.03)^4 $$ $$ A = $2,000 \times 1.1255... $$ $$ A \approx $2251.02 $$
答案：總金額將為$2251.02。所賺取的利息是 $$ $2251.02 - $2000 = $251.02 $$，這比單利息的 $240 更多！
3.4 連續百分比變化
這是指你有多於一個百分比變化，並且這些變化是接連發生的。關鍵在於第二次變化是基於新金額計算的，而不是原有金額。
例子：一件外套價格為 $1,000。價格首先增加了10%。然後在促銷期間，新價格再打九折（折扣10%）。最終價格是 $1,000 嗎？我們來看看！
- 第一次變化（增長10%）：
新價格 = $$ $1,000 \times (100\% + 10\%) = $1,000 \times 1.10 = $1,100 $$ - 第二次變化（在新價格基礎上折扣10%）：
最終價格 = $$ $1,100 \times (100\% - 10\%) = $1,100 \times 0.90 = $990 $$
答案：最終價格是$990，而不是 $1,000！這是一個經典的陷阱問題。百分比增長後再以相同的百分比減少，最終值總會比原有值為低。
3.5 薪俸稅
當人們賺取金錢（薪金）時，他們通常需要將其中一部分作為稅款繳付給政府。這通常以百分比形式計算。
例子：陳先生每月賺取 $40,000。薪俸稅率為5%。他需要繳付多少稅款？
這是一個直接的百分比計算。
應繳稅款 = 薪金 × 稅率
$$ = $40,000 \times 5\% $$
$$ = $40,000 \times 0.05 = $2,000 $$
答案：陳先生需要繳付$2,000的稅款。
章節總結與必記公式表
哇，我們學習了好多內容！你現在幾乎可以處理生活中遇到的任何百分比問題了。記住，關鍵是仔細閱讀問題，並找出「原有」的數量。
必記公式：
- 百分比變化： $$ \frac{\text{變化量}}{\text{原有數量}} \times 100\% $$
- 新值（快捷方法）： $$ \text{原有值} \times (1 \pm \text{百分比變化 (小數)}) $$
- 百分比盈利/虧蝕： $$ \frac{\text{盈利或虧蝕}}{\text{成本價}} \times 100\% $$
- 單利息： $$ I = P \times R \times T $$
- 複利息總額： $$ A = P(1 + R)^n $$
繼續練習，你很快就能成為百分比大師！很棒，你完成了這些筆記！