歡迎來到百分比嘅世界！
同學你好！準備好掌握數學中最實用嘅技能之一未呀？呢一章我哋會深入了解百分比。你隨處都可以見到佢哋：喺你最鍾意嘅商店減價牌上，喺你電話嘅電量顯示度，同埋新聞報導入面。掌握百分比，就好似擁有一套解讀數字世界運作方式嘅秘密代碼咁！
喺呢份筆記入面，我哋會逐一拆解所有你需要知嘅嘢。我哋會學點樣計物品嘅增長同減少，點樣計折扣，明白盈利同虧蝕，甚至睇下錢點樣透過利息增值。唔使擔心聽落好似好多嘢，我哋會一步步嚟，仲會用好多實際例子幫你理解㗎！快啲開始啦！
第一部分：理解百分率變化
呢一章最重要嘅概念就係百分率變化。佢係用嚟量度一個數值相對於佢嘅原值，改變咗幾多嘅一種方式。呢個變化可以係向上（增加），亦可以係向下（減少）。
百分率變化嘅主要公式
呢一章入面我哋做嘅大部份嘢，都離唔開一個簡單嘅概念。要搵百分率變化，你只需要用呢條公式：
$$ \text{Percentage Change} = \frac{\text{Change in Value}}{\text{Original Value}} \times 100\% $$記住：「數值變化」就係新值同原值之間嘅差額。
百分率增加（當數值變大嘅時候！）
當新嘅數值比原值大嘅時候，就會出現百分率增加。
例子：上個月你嘅零用錢係 $200。今個月，你嘅零用錢變咗 $220。請問百分率增加係幾多？
- 搵出變化： $220 - $200 = 增加咗 $20。
- 使用公式： $$ \frac{\text{Increase}}{\text{Original Amount}} \times 100\% = \frac{$20}{$200} \times 100\% $$
- 計算： $0.1 \times 100\% = 10\%$。
所以，你嘅零用錢增加咗10%。做得好！
百分率減少（當數值變小嘅時候！）
當新嘅數值比原值小嘅時候，就會出現百分率減少。
例子：一隻電子遊戲原價係 $400。而家減價賣 $300。請問百分率減少係幾多？
- 搵出變化： $400 - $300 = 減少咗 $100。
- 使用公式： $$ \frac{\text{Decrease}}{\text{Original Amount}} \times 100\% = \frac{$100}{$400} \times 100\% $$
- 計算： $0.25 \times 100\% = 25\%$。
呢隻遊戲嘅價錢減少咗25%。真係好抵呀！
重點提示：百分率變化
要計算任何百分率變化，記住以下兩個步驟：
- 步驟一： 搵出實際嘅變化（新值 - 原值）。
- 步驟二： 將變化除以原值，再乘以 100%。
第二部分：百分比喺日常生活嘅應用
而家，等我哋睇下呢啲概念點樣應用喺日常生活入面。呢個就係數學變得超級實用嘅地方啦！
主題一：折扣同減價
你鍾意減價促銷，係咪呀？折扣其實就係應用喺價格上嘅百分率減少。
重要詞彙：
- 標價： 物品標籤上嘅原價。
- 折扣百分率： 你可以減免嘅百分比。
- 售價： 你實際需要支付嘅最終價格。
點樣計算售價：
例子：一件T恤嘅標價係 $150，而家有八折優惠（20% 折扣）。請問售價係幾多？
方法一：先計算折扣金額。
- 計算折扣金額： $150 \times 20\% = 150 \times 0.20 = $30。
- 從標價中扣除： $150 - $30 = $120。
方法二：使用乘數（更快！）
如果你得到八折（20% 折扣），即係你仲要支付原價嘅 80%（因為 100% - 20% = 80%）。
- 計算你最終需要支付嘅百分比： 100% - 20% = 80%。
- 將標價乘以呢個百分比： $150 \times 80\% = 150 \times 0.80 = $120。
售價係$120。
主題二：盈利與虧蝕
商家會用百分比嚟睇下佢哋係賺錢定蝕錢。
重要詞彙：
- 成本價： 商店購買貨品嘅價錢。
- 售價： 商店賣出貨品嘅價錢。
- 盈利： 如果售價 > 成本價。即係你賺咗錢！
- 虧蝕： 如果成本價 > 售價。即係你蝕咗錢。
非常重要嘅規則！
盈利或虧蝕百分率永遠都係根據成本價嚟計算嘅。記住要睇返佢原本嘅成本價呀！
例子（盈利）：一個店主以 $500（成本價）買入一隻手錶，然後以 $600（售價）賣出。請問佢嘅盈利百分率係幾多？
- 搵出盈利金額： $600 - $500 = 盈利 $100。
- 使用公式（記住要用成本價！）： $$ \text{Profit \%} = \frac{\text{Profit}}{\text{Cost Price}} \times 100\% = \frac{$100}{$500} \times 100\% $$
- 計算： $0.20 \times 100\% = 20\%$。
呢個店主賺咗20%嘅盈利。
主題三：增長同折舊
呢個只不過係「隨時間嘅百分率增加或減少」嘅花俏講法。
- 增長： 數值增加。例子：一個城市嘅人口。
- 折舊： 數值減少。例子：新車或電話嘅價值。
例子（折舊）：一部新電話價值 $6000。佢嘅價值喺一年後折舊咗 30%。請問一年後部電話嘅價值係幾多？
呢個只不過係一個百分率減少嘅問題啫！我哋可以用乘數方法嚟計：
- 搵出剩餘嘅百分比價值： 100% - 30% = 70%。
- 計算新價值： $6000 \times 70\% = 6000 \times 0.70 = $4200。
一年後，呢部電話嘅價值係 $4200。
主題四：利息 —— 讓金錢增值！
當你將錢存入銀行，你就會賺到利息。呢就好似銀行因為你俾佢哋使用你嘅錢而俾你嘅「多謝費」咁。
重要詞彙：
- 本金 (P)： 你最初投資嘅金額。
- 利率 (R)： 每年嘅利息百分比（p.a. = per annum = 每年）。
- 時間 (T)： 資金投資嘅年數。
- 利息 (I)： 你賺取嘅額外金錢。
- 本利和 (A)： 最終你擁有嘅總金額（本金 + 利息）。
單利息
計算單利息嘅時候，利息只會每年根據原始本金嚟計算。即係每年賺取嘅額外金額都係一樣嘅。
公式： $$ I = P \times R \times T $$
例子：你投資 $1000 (P)，以每年 5% (R) 嘅單利息率計算，為期 3 年 (T)。請問你會賺到幾多利息？
- 使用公式： $$ I = $1000 \times 5\% \times 3 $$
- 計算： $$ I = 1000 \times 0.05 \times 3 = $150 $$
你會賺取 $150 嘅單利息。你總共會有 $1000 + $150 = $1150。
複利息
呢種更強勁！複利息嘅意思係，你唔單止會賺取本金嘅利息，仲會賺取你已經賺到嘅利息嘅利息。就好似一個滾落山嘅雪球咁，越滾越大。
如果一開始覺得有啲難，唔使擔心，佢只不過係重複嘅百分率增加嚟㗎！
總金額 (A) 嘅公式： $$ A = P \times (1 + R)^T $$
例子：你投資 $1000 (P)，以每年 5% (R) 嘅複利息率計算，為期 3 年 (T)。請問你總共會有幾多錢？
- 使用公式： $$ A = $1000 \times (1 + 5\%)^3 $$
- 首先計算括號內嘅部分： $$ 1 + 0.05 = 1.05 $$
- 而家進行完整計算： $$ A = 1000 \times (1.05)^3 = 1000 \times 1.157625 = $1157.63 $$
你總共會有 $1157.63。比起單利息，多咗 $7.63 呀！而家睇落可能唔係好多，但係如果投資好多年，複利效應會帶嚟好大嘅分別㗎！
你知道嗎？
百分號 (%) 係由 15 世紀使用嘅一個符號演變而嚟。佢最初係寫做「p c」加一個小圓圈，最終演變成我哋今日見到嘅兩個圓圈由一條線分隔開嘅樣式！
主題五：連續性變化與組成部分變化
連續性變化（一個接一個）
呢種情況係指你首先應用一個百分率變化，然後再將另一個百分率變化應用到新嘅結果上面。
例子：一件外套售價 $500。佢首先有八折優惠（減價 20%）。然後，喺一個特別嘅週末，仲有額外 10% 嘅折扣。請問最終價格係幾多？
常見錯誤提醒！
你唔可以直接將百分比加埋一齊（20% + 10% = 30%）。咁做係錯㗎，因為第二次折扣係根據已經減價後嘅價格嚟計算，而唔係原價。
正確嘅方法（一步一步嚟）：
- 第一次 20% 折扣後嘅價格： $500 \times (100\% - 20\%) = 500 \times 0.80 = $400。
- 而家，將 10% 折扣應用到呢個新價格： $400 \times (100\% - 10\%) = 400 \times 0.90 = $360。
最終價格係 $360。（如果係 30% 折扣，價格會係 $350，所以你可以睇到佢哋係唔同㗎！）
組成部分變化（整體中不同部分嘅變化）
呢種情況係指一個整體嘅唔同部分以唔同嘅百分比發生變化。
例子：一間學校有 40% 嘅男生同 60% 嘅女生。下一年，男生人數將會增加 10%，而女生人數將會減少 5%。請問學校總人口嘅整體百分率變化係幾多？
最簡單嘅方法：假設一個起始總數。假設學校有 100 名學生。
- 原有數目： 40 名男生同 60 名女生。總數 = 100。
- 新男生人數： 增加 10%。所以，$40 \times (1 + 10\%) = 40 \times 1.1 = 44$ 名男生。
- 新女生人數： 減少 5%。所以，$60 \times (1 - 5\%) = 60 \times 0.95 = 57$ 名女生。
- 新總人口： $44 + 57 = 101$ 名學生。
- 計算整體百分率變化： 人口由 100 變到 101。整體而言，呢個係1% 嘅增加。
主題六：薪俸稅
呢係成年人根據佢哋賺取嘅金錢（佢哋嘅薪金）而支付嘅一種實際稅項。
重要詞彙：
- 入息： 一個人賺取嘅總金額。
- 免稅額： 你可以從入息中扣除而無須繳稅嘅金額。
- 應課稅入息實額： 實際計算稅款嘅入息金額。
- 稅率： 用嚟計算稅款嘅百分比。
- 應繳稅款： 你最終必須支付嘅稅款金額。
計算過程：
- 搵出應課稅入息實額： $$ \text{Net Chargeable Income} = \text{Income} - \text{Allowances} $$
- 計算應繳稅款： $$ \text{Tax Payable} = \text{Net Chargeable Income} \times \text{Tax Rate} $$
例子：陳先生每年賺取 $400,000。佢嘅總免稅額係 $150,000。假設稅率係 15%。請問佢需要繳付幾多稅款？
- 搵出佢嘅應課稅入息實額： $400,000 - $150,000 = $250,000。
- 計算應繳稅款： $250,000 \times 15\% = 250,000 \times 0.15 = $37,500。
陳先生全年嘅應繳稅款係 $37,500。
（注意：喺現實生活入面，稅制通常會更複雜，對唔同入息水平有唔同稅率，但基本概念係一樣嘅！）
最後重點提示
恭喜你！你已經學晒百分比嘅所有主要應用喇。由購物到銀行業務，你而家都掌握咗理解呢啲數字點樣運作嘅工具。最重要嘅係要仔細閱讀問題，搵出原值（例如成本價或標價），然後應用正確嘅百分率變化。你一定得嘅！