畢氏定理：直角三角形嘅學習好幫手！
各位同學好！歡迎嚟到畢氏定理嘅學習筆記。呢個名聽落好似好深奧，但你哋唔使擔心！其實佢係一個關於一種特別三角形嘅超實用又幾簡單嘅法則嚟㗎。喺呢份筆記入面，我哋會一齊解開佢嘅秘密。
你會學到呢個定理係乜嘢、點樣用佢，同埋點解佢係解決現實世界問題（由整櫃到打機都得㗎！）嘅「超能力」嚟㗎。我哋開始啦！
首先：認識直角三角形
喺我哋用呢個定理之前，我哋要先認識一下佢嘅「主角」：直角三角形。佢係指任何一個有一個「完美角」（好似正方形或者書本嘅角咁）嘅三角形。呢個特別嘅角就係90度。
直角三角形嘅各部分
每個直角三角形都有三條邊，佢哋都有特別嘅名。搞清楚呢啲名係最重要嘅第一步嚟㗎！
斜邊 (我哋會叫佢做 'c')： 佢係呢個三角形嘅「超級巨星」！佢永遠係最長嘅邊，而且永遠喺直角嘅對面。你可以想像佢係「斜斜地」嗰條邊。
兩條直角邊 (我哋會叫佢哋做 'a' 同 'b')： 佢哋係另外兩條邊。佢哋互相相連，形成嗰個90度嘅直角。邊條叫 'a'，邊條叫 'b' 都冇所謂嘅。
想像一個三角形，其中一個角有個正方形符號。嗰個就係直角喇。唔掂到嗰個角嘅邊就係斜邊啦！
快速溫習小錦囊
直角三角形： 有一個90°角嘅三角形。
斜邊 (c)： 最長嘅邊，喺直角嘅對面。
直角邊 (a 同 b)： 形成直角嘅兩條短邊。
重點提示
如果你識得正確咁搵到斜邊，你就已經成功咗一半啦！做得好好！
重頭戲登場：咩係畢氏定理？
畢氏定理係直角三角形各邊之間嘅一種特殊關係。佢話：
「如果你喺兩條短邊（直角邊）上面各起一個正方形，佢哋嘅面積加埋，會啱啱等於喺最長嗰條邊（斜邊）上面起嘅正方形面積。」
聽落好神奇，但用公式表達會易用好多㗎！
著名公式
呢個定理可以寫成呢個簡單而有力嘅方程：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$其中：
a 同 b 係直角邊嘅長度。
c 係斜邊嘅長度。
如果你知道其中兩條邊嘅長度，呢條公式就可以幫你搵到剩餘嗰條邊嘅長度喇。等我哋睇吓點用啦！
例題一：搵斜邊 (c)
想像一個三角形，兩條直角邊分別長 3 厘米 同 4 厘米。我哋想搵斜邊嘅長度。
逐步教學：
辨識各邊：
兩條直角邊係 a = 3 同 b = 4。我哋要搵 c。寫下公式：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$代入已知數字：
$$ 3^2 + 4^2 = c^2 $$計算平方：
記住，$$3^2$$ 嘅意思係 3 × 3。
$$ 9 + 16 = c^2 $$相加數字：
$$ 25 = c^2 $$搵平方根：
要搵到 'c' 本身，我哋需要做平方嘅相反運算，就係搵平方根 ($$\sqrt{...}$$)。
$$ c = \sqrt{25} $$
$$ c = 5 $$
答案： 斜邊長度係 5 厘米！
例題二：搵直角邊 (a 或 b)
而家，想像一個三角形，斜邊長 13 厘米，其中一條直角邊長 12 厘米。等我哋搵另一條直角邊。
唔使擔心，過程好相似㗎！
逐步教學：
辨識各邊：
斜邊 c = 13。其中一條直角邊係 b = 12。我哋要搵 a。寫下公式：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$代入已知數字：
$$ a^2 + 12^2 = 13^2 $$計算平方：
$$ a^2 + 144 = 169 $$重新整理公式以找出 $$a^2$$：
我哋需要將 $$a^2$$ 獨立出嚟，所以要喺兩邊同時減去 144。
$$ a^2 = 169 - 144 $$相減數字：
$$ a^2 = 25 $$搵平方根：
$$ a = \sqrt{25} $$
$$ a = 5 $$
答案： 缺失嘅直角邊長度係 5 厘米！
常見錯誤要避免！
搞亂 'c'： 永遠要確保 'c' 係斜邊（最長嗰條邊）。條公式絕對唔係 $$a^2 + c^2 = b^2$$！
唔記得最後一步： 一個常見錯誤係去到 $$c^2 = 25$$ 就停咗。你必須搵埋平方根先算係 'c' 嘅最終答案。
應該減數時反而加數： 當你搵短邊（a 或 b）嘅時候，記住要用減法嚟計平方數，好似例題二咁。
重點提示
公式 $$a^2 + b^2 = c^2$$ 就係你嘅「萬能匙」！如果你係搵最長嘅邊 (c)，就要用加法。如果你係搵短邊 (a 或 b)，就要用減法。
反過嚟睇：畢氏定理嘅逆定理
所以，我哋知道如果一個三角形有直角，咁 $$a^2 + b^2 = c^2$$。
呢個定理嘅逆定理就係將上面嗰句反轉講：
「如果一個三角形嘅邊長符合 $$a^2 + b^2 = c^2$$ 呢條公式，咁佢一定係直角三角形。」
我哋用逆定理嚟檢測一個三角形係咪有90°角。
點樣用逆定理
一個三角形嘅邊長分別係 8 厘米、15 厘米 同 17 厘米。佢係咪一個直角三角形呢？
逐步測試：
找出最長嘅邊。 呢條邊一定係你嘅 'c'。
喺呢度，c = 17。咁，a = 8 同 b = 15。分開計算 $$a^2 + b^2$$。
$$ 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 $$而家，分開計算 $$c^2$$。
$$ 17^2 = 289 $$比較你嘅結果。
$$a^2 + b^2 = c^2$$ 嗎？係！289 等於 289。
結論： 因為邊長符合公式，所以呢個係一個直角三角形！
如果邊長係 5、6 同 7 呢？
最長嘅邊 c = 7。
$$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$$
$$c^2 = 7^2 = 49$$
61 唔等於 49，所以呢個唔係一個直角三角形。
重點提示
逆定理可以幫你成為一個「三角形偵探」！如果 $$a^2 + b^2$$ 等於 $$c^2$$，咁你就搵到一個直角啦！
畢氏定理實戰！解決實際問題
呢個就係神奇嘅地方喇。畢氏定理喺現實世界中係成日用到㗎。
小貼士： 遇到文字題嘅時候，記得畫幅簡單嘅圖。咁樣可以幫你睇到個三角形！
問題例子：斜靠嘅梯
一條 10 米長嘅梯斜靠喺牆上。梯嘅底部距離牆腳 6 米。梯可以伸到牆上有幾高呢？
解決問題：
畫幅圖。 你會見到梯、牆同地面形成一個直角三角形。
梯係斜邊，所以佢就係斜邊 (c = 10)。
地面係其中一條直角邊 (b = 6)。
牆係另一條直角邊，我哋需要搵出佢嘅長度 (a = ?)。
選擇公式。 我哋係搵直角邊，所以要用減法。
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$代入數字並計算：
$$ a^2 + 6^2 = 10^2 $$
$$ a^2 + 36 = 100 $$
$$ a^2 = 100 - 36 $$
$$ a^2 = 64 $$
$$ a = \sqrt{64} $$
$$ a = 8 $$
答案： 梯可以伸到牆上 8 米高。
重點提示
喺你身邊嘅世界多啲留意三角形！無論你見到斜向嘅距離同兩條直線（好似電視螢幕嘅對角線，或者公園小徑咁），你都可以用畢氏定理嚟搵出缺失嘅長度。
趣味區：畢氏三元數 (進階學習)
呢個係一個好正嘅小竅門。畢氏三元數 係指一組特別嘅三個整數，佢哋完美咁符合畢氏定理。當中唔會涉及小數㗎！
最出名嘅三元數係：(3, 4, 5)
等我哋驗證一下：$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$。而 $$5^2 = 25$$。佢work㗎！
以下係其他常見而值得記住嘅組合：
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
你甚至可以透過將成組三元數乘以同一個數字，嚟產生新嘅三元數！
例如，將 (3, 4, 5) 乘以 2：你就會得到 (6, 8, 10)。等我哋驗證吓：$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$。而 $$10^2 = 100$$。佢都work㗎！
你知唔知？一啲歷史小知識
呢個定理係以一位古希臘數學家——畢達哥拉斯（Pythagoras）嘅名字命名嘅。佢同佢嘅追隨者，即係「畢達哥拉斯學派」，係大約公元前500年，最早為呢種關係寫下正式證明嘅其中一個群體。
不過，歷史學家發現有證據顯示，喺畢達哥拉斯之前超過1,000年，古巴比倫、埃及同中國嘅人已經知道直角三角形呢個特殊性質！佢哋用呢個知識嚟設計建築物同量度土地。