畢氏定理：直角三角形的學習好幫手！
各位同學好！歡迎來到畢氏定理的學習筆記。這個名詞聽起來好像很深奧，但你們不用擔心！其實它是一個關於一種特別三角形的超實用又很簡單的法則。在這份筆記裡面，我們會一起解開它的秘密。
你會學到這個定理是什麼、如何使用它，以及為什麼它是解決現實世界問題（從做櫃子到玩遊戲都可以！）的「超能力」。我們開始吧！
首先：認識直角三角形
在我們使用這個定理之前，我們要先認識一下它的「主角」：直角三角形。它指的是任何一個有一個「完美角」（好像正方形或者書本的角那樣）的三角形。這個特別的角就是90度。
直角三角形的各部分
每個直角三角形都有三條邊，它們都有特別的名稱。弄清楚這些名稱是最重要的第一步！
斜邊 (我們稱它為 'c')： 它是這個三角形的「超級巨星」！它永遠是最長的邊，而且永遠在直角的對面。你可以想像它是「斜斜的」那條邊。
兩條直角邊 (我們稱它們為 'a' 和 'b')： 它們是另外兩條邊。它們互相連接，形成那個90度的直角。哪條叫 'a'，哪條叫 'b' 都無所謂。
想像一個三角形，其中一個角有一個正方形符號。那個就是直角了。不接觸到那個角的邊就是斜邊了！
快速溫習小錦囊
直角三角形： 有一個90°角的三角形。
斜邊 (c)： 最長的邊，在直角的對面。
直角邊 (a 和 b)： 形成直角的兩條短邊。
重點提示
如果你能正確地找到斜邊，你就已經成功了一半了！做得很好！
重頭戲登場：什麼是畢氏定理？
畢氏定理是直角三角形各邊之間的一種特殊關係。它說：
「如果你在兩條短邊（直角邊）上面各建一個正方形，它們的面積加起來，會剛好等於在最長的那條邊（斜邊）上面建的正方形面積。」
聽起來很神奇，但用公式表達會容易使用許多！
著名公式
這個定理可以寫成這個簡單而有力的方程：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$其中：
a 和 b 是直角邊的長度。
c 是斜邊的長度。
如果你知道其中兩條邊的長度，這條公式就可以幫助你找到剩餘那條邊的長度了。讓我們看看如何使用吧！
例題一：找斜邊 (c)
想像一個三角形，兩條直角邊分別長 3 厘米 和 4 厘米。我們想找斜邊的長度。
逐步教學：
辨識各邊：
兩條直角邊是 a = 3 和 b = 4。我們需要找 c。寫下公式：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$代入已知數字：
$$ 3^2 + 4^2 = c^2 $$計算平方：
記住，$$3^2$$ 的意思是 3 × 3。
$$ 9 + 16 = c^2 $$相加數字：
$$ 25 = c^2 $$找平方根：
要找到 'c' 本身，我們需要做平方的相反運算，就是找平方根 ($$ ext{\sqrt{...}}$$)。
$$ c = ext{\sqrt{25}} $$
$$ c = 5 $$
答案： 斜邊長度是 5 厘米！
例題二：找直角邊 (a 或 b)
現在，想像一個三角形，斜邊長 13 厘米，其中一條直角邊長 12 厘米。讓我們找另一條直角邊。
不用擔心，過程很相似！
逐步教學：
辨識各邊：
斜邊 c = 13。其中一條直角邊是 b = 12。我們需要找 a。寫下公式：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$代入已知數字：
$$ a^2 + 12^2 = 13^2 $$計算平方：
$$ a^2 + 144 = 169 $$重新整理公式以找出 $$a^2$$：
我們需要將 $$a^2$$ 獨立出來，所以要在兩邊同時減去 144。
$$ a^2 = 169 - 144 $$相減數字：
$$ a^2 = 25 $$找平方根：
$$ a = ext{\sqrt{25}} $$
$$ a = 5 $$
答案： 缺失的直角邊長度是 5 厘米！
常見錯誤要避免！
搞混 'c'： 永遠要確保 'c' 是斜邊（最長的那條邊）。這條公式絕對不是 $$a^2 + c^2 = b^2$$！
忘記最後一步： 一個常見錯誤是到了 $$c^2 = 25$$ 就停了。你必須找到平方根才算是 'c' 的最終答案。
應該減數時反而加數： 當你找短邊（a 或 b）的時候，記住要用減法來計算平方數，就像例題二那樣。
重點提示
公式 $$a^2 + b^2 = c^2$$ 就是你的「萬能鑰匙」！如果你是找最長的邊 (c)，就要用加法。如果你是找短邊 (a 或 b)，就要用減法。
反過來看：畢氏定理的逆定理
所以，我們知道如果一個三角形有直角，那麼 $$a^2 + b^2 = c^2$$。
這個定理的逆定理就是將上面那句話反過來說：
「如果一個三角形的邊長符合 $$a^2 + b^2 = c^2$$ 這條公式，那麼它一定是直角三角形。」
我們用逆定理來檢測一個三角形是否具備90°角。
如何使用逆定理
一個三角形的邊長分別是 8 厘米、15 厘米 和 17 厘米。它是否一個直角三角形呢？
逐步測試：
找出最長的邊。 這條邊一定是你的 'c'。
在這裡，c = 17。那麼，a = 8 和 b = 15。分開計算 $$a^2 + b^2$$。
$$ 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 $$現在，分開計算 $$c^2$$。
$$ 17^2 = 289 $$比較你的結果。
$$a^2 + b^2 = c^2$$ 嗎？是！289 等於 289。
結論： 因為邊長符合公式，所以這是一個直角三角形！
如果邊長是 5、6 和 7 呢？
最長的邊 c = 7。
$$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$$
$$c^2 = 7^2 = 49$$
61 不等於 49，所以這不是一個直角三角形。
重點提示
逆定理可以幫助你成為一個「三角形偵探」！如果 $$a^2 + b^2$$ 等於 $$c^2$$，那麼你就找到一個直角了！
畢氏定理實戰！解決實際問題
這就是神奇的地方了。畢氏定理在現實世界中是經常使用的。
小貼士： 遇到文字題的時候，記得畫一幅簡單的圖。這樣可以幫助你看到那個三角形！
問題例子：斜靠的梯子
一條 10 米長的梯子斜靠在牆上。梯子的底部距離牆腳 6 米。梯子可以伸到牆上有多高呢？
解決問題：
畫一幅圖。 你會看到梯子、牆和地面形成一個直角三角形。
梯子是斜邊，所以它就是斜邊 (c = 10)。
地面是其中一條直角邊 (b = 6)。
牆是另一條直角邊，我們需要找出它的長度 (a = ?)。
選擇公式。 我們是找直角邊，所以要用減法。
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$代入數字並計算：
$$ a^2 + 6^2 = 10^2 $$
$$ a^2 + 36 = 100 $$
$$ a^2 = 100 - 36 $$
$$ a^2 = 64 $$
$$ a = ext{\sqrt{64}} $$
$$ a = 8 $$
答案： 梯子可以伸到牆上 8 米高。
重點提示
在你身邊的世界多留意三角形！無論你看到斜向的距離和兩條直線（好像電視螢幕的對角線，或者公園小徑那樣），你都可以用畢氏定理來找出缺失的長度。
趣味區：畢氏三元數 (進階學習)
這是一個很棒的小竅門。畢氏三元數 是指一組特別的三個整數，它們完美地符合畢氏定理。當中不會涉及小數！
最出名的三元數是：(3, 4, 5)
讓我們驗證一下：$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$。而 $$5^2 = 25$$。它有效！
以下是其他常見而值得記住的組合：
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
你甚至可以透過將整組三元數乘以同一個數字，來產生新的三元數！
例如，將 (3, 4, 5) 乘以 2：你就會得到 (6, 8, 10)。讓我們驗證一下：$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$。而 $$10^2 = 100$$。它也有效！
你知道嗎？一些歷史小知識
這個定理是以一位古希臘數學家——畢達哥拉斯（Pythagoras）的名字命名的。他和他追隨者，即是「畢達哥拉斯學派」，是在大約公元前500年，最早為這種關係寫下正式證明的其中一個群體。
不過，歷史學家發現有證據顯示，在畢達哥拉斯之前超過1,000年，古巴比倫、埃及和中國的人已經知道直角三角形這個特殊性質！他們用這個知識來設計建築物和量度土地。