歡迎來到概率的世界！
你有沒有想過，玩遊戲贏錢的機會有多大？擲硬幣擲出「公」的機會是多少？又或者，天氣預報說「有八成機會下雨」到底是什麼意思？這些都跟概率有關！概率是數學的一個分支，它告訴我們某件事情發生的可能性有多大。這是一項超級有用的技能，可以幫助我們在遊戲、科學和日常生活中做出更明智的決定。別擔心這聽起來很複雜，我們會把它拆解成簡單又有趣的步驟。我們開始吧！
1. 必然事件、不可能事件和隨機事件
首先，讓我們學習概率中三種主要的事件類型，或者說「可能發生的事情」。
必然事件
必然事件是指肯定會發生的事情。毫無疑問！
例子：
- 如果你把一本書掉到地上，它會往下掉（感謝地心吸力！）。
- 星期一之後的一天永遠是星期二。
- 如果一個袋子裡只有紅球，你肯定會抽到一個紅球。
不可能事件
不可能事件是指永遠、永遠不會發生的事情。機會是零！
例子：
- 一條魚會開始唱歌劇。
- 你在一個正常的六面骰子上擲出「7」。
- 如果一個袋子裡只有紅球，不可能抽到一個藍球。
隨機事件
隨機事件是指結果在發生前不能確定的事件。它可能會發生，也可能不會發生。這正是概率變得真正有趣的地方！
例子：
- 擲硬幣並擲出「反」。
- 贏得幸運抽獎。
- 你最喜歡的足球隊贏得下一場比賽。
重點回顧
事件可以是必然的（肯定會發生），不可能的（永遠不會發生），或者是隨機的（可能發生）。我們在概率中研究的大多數事情都是隨機事件。
2. 什麼是概率？（可能性測量器！）
把概率想像成一個「可能性測量器」，它測量某事件發生的可能性。這個測量器範圍從0到1。
- 概率是0表示事件是不可能的。
- 概率是1表示事件是必然的。
- 概率是0.5（或1/2或50%）表示事件發生與不發生的機會均等，例如擲硬幣擲出「公」。
我們可以將概率寫成分數、小數或百分比。
神奇的公式
要計算一個隨機事件的概率，我們只用一個簡單的公式。它是你概率工具箱裡最重要的工具！
$$P(\text{event}) = \frac{\text{Number of favourable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}$$
讓我們來拆解一下這個公式：
- 有利結果（Favourable Outcomes）：這是一種較為學術的說法，意思是你「感興趣的結果」或「可以贏的方式」。
- 所有可能結果（Total Possible Outcomes）：這是所有可能發生的單一事件的總和。
例子：擲骰子
想像一下，你想找出在一個標準六面骰子上擲出「4」的概率。
- 有利結果的數目是1（因為只有一個面是「4」）。
- 所有可能結果的總數是6（因為骰子可以落在1、2、3、4、5或6）。
$$P(\text{rolling a 4}) = \frac{1}{6}$$
所以，概率是六分之一。簡單吧？
快速複習
概率是介乎0和1之間的可能性量度。
0 = 不可能事件
1 = 必然事件
公式： P(事件) = 有利結果 / 所有可能結果
3. 列出所有結果：樣本空間
在我們使用公式之前，我們需要知道所有可能的結果。一個實驗所有可能結果的完整列表稱為樣本空間。正確列出樣本空間是最重要的第一步！
例如，擲骰子的樣本空間是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
當情況變得更複雜時，例如擲兩枚硬幣或擲兩個骰子，我們需要有組織的方法來找出樣本空間。讓我們學習兩種很棒的方法！
方法1：使用表格（或網格）
當你同時有兩件獨立的事情發生時（例如擲兩個骰子），表格是完美的選擇。
例子：擲兩個骰子
讓我們找出擲兩個骰子時，數字之和的樣本空間。
步驟1：設置一個表格。一個骰子的結果放在頂部，另一個骰子的結果放在側面。
步驟2：通過將相應行和列的數字相加來填寫中間的格。
骰子2
+ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
---|---|---|---|---|---|---
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
骰 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
子 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
1 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11
6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12
所有可能結果的總數是 6 × 6 = 36。現在我們可以輕鬆回答諸如「數字之和是7的概率是多少？」等問題。
只要數數表格裡有多少個7就行了！總共有6個。所以，概率是：
$$P(\text{sum is 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$
方法2：使用樹形圖
樹形圖非常適合分階段或步驟進行的實驗（例如擲硬幣三次）。
例子：擲硬幣兩次
讓我們找出擲硬幣兩次的樣本空間。
步驟1：畫出第一次擲硬幣的「分支」（公或反）。
步驟2：從每個分支的末端，畫出第二次擲硬幣的分支。
步驟3：通過沿著每條路徑從頭到尾，列出最終結果。
第一次擲 第二次擲 結果
,- - - 公 -> (公, 公) 或 HH
公
`- - - 反 -> (公, 反) 或 HT
,- - - 公 -> (反, 公) 或 TH
反
`- - - 反 -> (反, 反) 或 TT
樣本空間是 {HH, HT, TH, TT}。所有可能結果的總數是4。現在我們可以回答：「至少擲出一個『公』的概率是多少？」
有三個結果至少有一個「公」（HH、HT、TH）。所以概率是：
$$P(\text{at least one Head}) = \frac{3}{4}$$
重點回顧
樣本空間是所有可能結果的列表。對於兩個同時發生的事件，使用表格；對於分階段發生的事件，使用樹形圖。如果一開始覺得很難，別擔心，多加練習就沒問題了！
4. 讓我們解決一些問題！
是時候運用我們的新技能了。我們將總是遵循這些步驟：
步驟1：找出所有可能結果的總數（即樣本空間）。
步驟2：計算有利結果的數目。
步驟3：將它們代入概率公式並化簡！
問題1：抽彈珠
一個袋子裡有5個紅彈珠、3個藍彈珠和2個綠彈珠。抽到藍彈珠的概率是多少？
步驟1：所有結果。彈珠總數是 5 + 3 + 2 = 10。
步驟2：有利結果。藍彈珠的數目是3。
步驟3：計算。
$$P(\text{blue marble}) = \frac{3}{10}$$
問題2：運用我們的骰子表格
你擲兩個骰子。數字之和大於9的概率是多少？
步驟1：所有結果。從我們的表格中，我們知道總共有36個結果。
步驟2：有利結果。讓我們看看表格，數數數字之和大於9（即10、11或12）的結果。我們找到：(4,6)、(5,5)、(6,4)、(5,6)、(6,5)、(6,6)。這總共有6個有利結果。
步驟3：計算。
$$P(\text{sum > 9}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$
常見錯誤提醒
- 忘記化簡分數。務必將答案化為最簡形式（例如，6/36應化簡為1/6）。
- 錯誤計算所有結果的數目。要小心並有系統地計算。使用表格或樹形圖有助於避免錯誤！
5. 更進一步：期望（Expectation）
（這是一個稍微進階的話題，但非常實用！）
期望值（或預期值）是你重複進行一個實驗很多很多次之後，所預期的平均結果。它幫助我們判斷一個遊戲是否公平，或者預測長期的結果會是怎樣。
想像一個簡單的遊戲：你擲一個骰子。如果你擲出「6」，你贏得$12。如果你擲出任何其他數字，你什麼也沒贏。那麼，花$1玩這個遊戲值得嗎？
如何計算期望值
步驟1：列出每個可能結果（價值，例如$12或$0）。
步驟2：找出每個結果的概率。
步驟3：將每個結果的價值乘以其概率。
步驟4：將這些結果相加。
讓我們解決這個遊戲問題：
結果1：贏得$12。這個結果的概率是 P(擲出6) = 1/6。
結果2：贏得$0。這個結果的概率是 P(沒擲出6) = 5/6。
步驟3：
對於結果1：$$12 \times \frac{1}{6} = $2$$
對於結果2：$$0 \times \frac{5}{6} = $0$$
步驟4：
期望值 = $2 + $0 = $2。
這意味著如果你重複玩這個遊戲，你預計平均每局能贏得$2。既然玩一局只花$1，這是一個非常值得玩的遊戲！
你知道嗎？
期望值的概念被保險公司用來定價，也被企業用來做風險決策。這非常厲害！
章節總結
恭喜你！你已經學會了概率的基本知識。
- 事件可以是必然、不可能或隨機的。
- 概率的量度範圍從0（不可能）到1（必然）。
- 關鍵公式是 P(事件) = 有利結果 / 所有結果。
- 樣本空間列出了所有可能結果。我們可以使用表格或樹形圖來找到它。
- 期望值告訴我們實驗的長期平均結果。
繼續練習，你很快就會成為概率高手了！