第十章：整數指數律
哈囉！歡迎來到指數的世界。這個詞聽起來可能有點複雜，但它其實只是一個數學上的小技巧！在這一章，我們會學習如何以超級簡單的方式，書寫和處理非常大和非常小的數字。這項技能用途很廣泛，無論是計算星球之間的距離，還是了解微小原子的尺寸，都會用到它！事不宜遲，我們馬上開始吧！究竟甚麼是指數？
想像一下你要寫「5 x 5 x 5 x 5」。寫起來是不是有點長呢？指數提供一個更簡潔的寫法。我們可以將它寫作： $$ 5^4 $$ 以下是組成部分的意思：- 這個大數字，5，稱為底數 (Base)。它是我們進行重複相乘的數字。
- 這個小數字，4，稱為指數 (Index)（或冪次，或冪）。它告訴我們底數要自我相乘多少次。
底數是2，指數是5。所以，我們將2自我相乘5次。
`$$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$$`
快速溫習區
底數 (Base)：進行重複相乘的數字。
指數 (Index 或 Exponent)：底數自我相乘的次數。
冪 (Power)：整個表達式，包括底數和指數（例如，`$$5^4$$` 就是一個冪）。
正整數指數律 (我們的超級法則！)
為了讓大家更容易處理指數，有些方便的規則你必須知道。剛開始時如果覺得有點複雜也不用擔心，我們會逐一配合例子詳細解釋！法則1：乘法法則
法則：當你將具有相同底數的冪相乘時，你需要將指數相加。 $$ a^p \times a^q = a^{p+q} $$ 這樣想：讓我們看看 `$$3^2 \times 3^4$$`。 完整寫法是：`(3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3 \times 3)`。如果你數一數，總共有六個3相乘。所以答案是 `$$3^6$$`。
使用我們的法則的捷徑是：`$$3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$$`。看，是不是快很多呢！ 記憶小貼士：乘 (M) 的時候，要加 (A)。想想 'MA'！
法則2：除法法則
法則：當你將具有相同底數的冪相除時，你需要將指數相減。 $$ \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} $$ 這樣想：讓我們計算 `$$\frac{7^5}{7^2}$$`。 完整寫法是：`$$\frac{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7}{7 \times 7}$$`。我們可以將分子和分母中的兩個7抵消，剩下 `$$7 \times 7 \times 7$$`，也就是 `$$7^3$$`。
使用我們的法則的捷徑是：`$$\frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3$$`。 記憶小貼士：除 (D) 的時候，要減 (S)。想想 'DS'，就像遊戲機一樣！
常見錯誤提示！
頭兩個法則只適用於底數相同的情況！你不能將法則應用於 `$$5^2 \times 6^3$$`，因為底數（5和6）不同。
法則3：冪的冪法則
法則：當你將一個冪提升到另一個冪時，你需要將指數相乘。
$$ (a^p)^q = a^{pq} $$這樣想：
讓我們計算 `$$(2^3)^2$$`。這表示我們有兩個 `$$2^3$$`：`$$2^3 \times 2^3$$`。
使用我們的第一個法則（乘法法則），我們知道這等於 `$$2^{3+3} = 2^6$$`。
使用我們的新法則的捷徑是：`$$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$$`。
法則4：積的冪法則
法則：括號外的冪適用於括號內的所有部分。
$$ (ab)^p = a^p b^p $$這樣想：
讓我們試試 `$$(2 \times 5)^3$$`。這表示 `$$(2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5)$$`。
我們可以重新排列為 `$$(2 \times 2 \times 2) \times (5 \times 5 \times 5)$$`，這就等於 `$$2^3 \times 5^3$$`。
法則5：商的冪法則
法則：與乘法情況一樣，分數外面的冪適用於分子和分母。
$$ (\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p} $$例子： `$$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$$`
正整數指數律的重點
- 相乘 (相同底數)：指數相加。
- 相除 (相同底數)：指數相減。
- 冪的冪：指數相乘。
- 積/商的冪：將指數應用於內部每個部分。
零指數與負指數
如果指數不是正整數會怎樣？讓我們來揭曉！
零指數
這是一個簡單但非常重要的法則。任何數的零次方都是1。（唯一的例外是 `$$0^0$$`，它是未定義的，不過你暫時不用擔心這個！）
$$ a^0 = 1 $$但為甚麼呢？讓我們用除法法則來看看。`$$\frac{5^3}{5^3}$$` 是甚麼？
我們知道任何數字除以它本身都等於1。所以答案必定是1。
現在讓我們使用除法法則：`$$\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0$$`。
由於兩個答案都必須是正確的，這就表示 `$$5^0 = 1$$`！
負指數
負指數看起來可能有點嚇人，但它其實只是代表「翻轉它」或「找出倒數」。
$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$負指數告訴你將該冪移到分數的下方，並將指數變成正數。
例子1：$$2^{-3}$$ 是甚麼？
負號告訴我們將其翻轉。所以，我們將其寫成一個分子為1的分數。
`$$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$`
為甚麼這個方法行得通呢？讓我們再次在 `$$\frac{3^2}{3^5}$$` 上使用除法法則。 使用法則：`$$3^{2-5} = 3^{-3}$$`。 用完整寫法：`$$\frac{3 \times 3}{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{1}{3 \times 3 \times 3} = \frac{1}{3^3}$$`。 所以，`$$3^{-3}$$` 必定與 `$$\frac{1}{3^3}$$` 相同！
好消息！我們學過的所有「超級法則」不只適用於正整數指數，對零指數和負指數也同樣適用！
零指數與負指數的重點
- 零指數：`$$a^0 = 1$$` （任何數的零次方都是1）。
- 負指數：`$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$` （將其翻轉，並將指數變成正數）。
科學記數法：巨大和微小數字的救星！
科學家經常處理龐大（例如：星球之間的距離）或微小（例如：細胞的寬度）的數字。寫下所有零位數簡直是個麻煩！科學記數法是一種簡潔地書寫這些數字的方法。
其格式總是：
$$ A \times 10^n $$其中 'A' 是一個介乎1和10之間的數字（可以是1，但不可以是10），而 'n' 是一個整數指數。
如何將大數字寫成科學記數法
我們來看看數字 42,800,000。
步驟1：移動小數點，使其前方只剩下一個非零數字。小數點最初位於數字的末端：42800000。
我們將其移動，得到 4.28。
步驟2：數算你移動小數點的位數。我們將小數點向左移動了7位。這個數字就是我們的指數。
步驟3：以正確的格式寫下數字。由於這是一個大數字，指數是正數。
$$ 4.28 \times 10^7 $$如何將小數字寫成科學記數法
我們來看看數字 0.00091。
步驟1：移動小數點，使其成為一個介乎1和10之間的數字。
我們將其移動，得到 9.1。
步驟2：數算你移動小數點的位數。我們將小數點向右移動了4位。
步驟3：以正確的格式寫下數字。因為原始數字很小（小於1），所以指數是負數。
$$ 9.1 \times 10^{-4} $$你知道嗎？
搜尋引擎「Google」這個名稱的靈感來自於數字 googol (讀作「古戈爾」)，它代表1後面跟著100個零。在科學記數法中，一個googol 寫作 `$$1 \times 10^{100}$$`。這就是指數的威力！
科學記數法的重點
- 一種書寫非常大或非常小數字的簡潔方法。
- 格式：`$$A \times 10^n$$`，其中 `$$1 \le A < 10$$`。
- 大數字（大於1）的指數是正數。
- 小數字（小於1）的指數是負數。