第十二章：恆等式——你在代數的「秘密捷徑」！
大家好！歡迎來到恆等式這個章節。你可以把恆等式想像成數學裡特別的「秘技」或捷徑。它們是非常實用的工具，能幫助你更快、更省力地解題。一旦你學會了，你就會覺得自己是個代數高手！
在這個章節，我們會學習：
1. 什麼是恆等式，以及它跟方程有什麼不同。
2. 如何利用恆等式快速地展開代數式。
3. 如何利用恆等式因式分解多項式（就像是展開的「逆向操作」！）。
重點來了：方程 VS 恆等式
你以前處理過方程，但恆等式有什麼不同呢？這是一個簡單但非常重要的區別。
方程只對某些數值成立
把方程想像成一把只能打開一個特定鎖頭的鎖匙。
例如：方程 $$x + 3 = 8$$ 只在 x = 5 時才成立。如果你嘗試用其他數值代替 x，它就不會成立了。
恆等式對所有數值都成立
恆等式就像一把能打開所有鎖的萬能匙！無論你代入任何數值給變數，這個陳述永遠都會成立。
例如： $$2(x + 1) = 2x + 2$$
讓我們測試一下：
- 如果 x = 3：2(3 + 1) = 2(4) = 8。而 2(3) + 2 = 6 + 2 = 8。結果一樣！
- 如果 x = 10：2(10 + 1) = 2(11) = 22。而 2(10) + 2 = 20 + 2 = 22。結果一樣！
- 如果 x = -1：2(-1 + 1) = 2(0) = 0。而 2(-1) + 2 = -2 + 2 = 0。結果一樣！
因為它對任何 x 值都成立，所以它是一個恆等式。我們常用符號「≡」代替「=」來表示恆等式，但「=」也同樣常用。
如何證明恆等式
要證明一個方程是恆等式，你的任務就是要展示左方 (L.H.S.) 與右方 (R.H.S.) 完全相同。
黃金法則：只處理其中一方（通常是看起來較複雜的一方），並一步步簡化它，直到它與另一方完全相同。
例子：證明 (x + 1)² - 1 = x(x + 2) 是一個恆等式。
讓我們從左方 (L.H.S.) 開始，因為它看起來比較複雜。
左方 (L.H.S.) = $$(x + 1)² - 1$$
步驟一：展開 $$(x + 1)²$$，即是 $$(x + 1)(x + 1)$$
$$(x + 1)(x + 1) = x² + x + x + 1 = x² + 2x + 1$$
步驟二：現在把它放回左方 (L.H.S.) 的表達式。
$$L.H.S. = (x² + 2x + 1) - 1$$
步驟三：簡化。
$$L.H.S. = x² + 2x$$
步驟四：現在，讓我們看看右方 (R.H.S.)。
右方 (R.H.S.) = $$x(x + 2) = x² + 2x$$
因為左方 (L.H.S.) = 右方 (R.H.S.) ($$x² + 2x$$)，所以我們已經證明了它是一個恆等式！
重點歸納
方程只對特定數值成立，而恆等式則對所有可能數值都成立。要證明恆等式，就是簡化其中一方，直到它與另一方完全匹配。
利用恆等式展開表達式：快速方法！
還記得展開像 $$(x+2)(x+3)$$ 這樣的括號嗎？恆等式就是用於特別展開情況的捷徑。讓我們學習三個最重要的恆等式！
恆等式一：平方差
這個恆等式適用於兩個括號幾乎相同，但一個帶有「加號」而另一個帶有「減號」相乘的情況。
公式： $$(a - b)(a + b) = a² - b²$$
記憶口訣：只需記住「第一項的平方減去第二項的平方」。
例子：展開 (x - 5)(x + 5)。
不用擔心傳統的複雜方法！直接使用恆等式吧。
步驟一：找出「a」和「b」。在這裡，a = x 和 b = 5。
步驟二：應用公式 $$a² - b²$$。
步驟三：代入你的數值：$$x² - 5²$$
答案：$$x² - 25$$。就這麼簡單！快得多呢！
恆等式二：完全平方（「加號」版本）
這適用於括號內有加號的平方，例如 $$(a+b)²$$。
公式： $$(a + b)² = a² + 2ab + b²$$
記憶口訣：「首項平方，加上兩倍積，再加末項平方。」
例子：展開 (y + 4)²。
步驟一：找出「a」和「b」。在這裡，a = y 和 b = 4。
步驟二：應用公式 $$a² + 2ab + b²$$。
步驟三：代入你的數值：$$y² + 2(y)(4) + 4²$$
答案：$$y² + 8y + 16$$。
常見錯誤警示！
一個非常常見的錯誤是認為 $$(a + b)² = a² + b²$$。這是錯誤的！千萬別忘了中間項 $$2ab$$！把它想像成建造一間房子：你需要地基 ($$a²$$)、屋頂 ($$b²$$)，以及中間所有的牆壁 ($$2ab$$)。你不能只有地板和屋頂就說這是一間房子！
恆等式三：完全平方（「減號」版本）
這適用於括號內有減號的平方，例如 $$(a-b)²$$。它與加號版本非常相似。
公式： $$(a - b)² = a² - 2ab + b²$$
請注意，只有中間項是負數。末項 ($$b²$$) 仍然是正數，因為負數的平方結果是正數！
例子：展開 (2x - 3)²。
步驟一：找出「a」和「b」。在這裡，a = 2x 和 b = 3。
步驟二：應用公式 $$a² - 2ab + b²$$。
步驟三：仔細代入：$$(2x)² - 2(2x)(3) + 3²$$
答案：$$4x² - 12x + 9$$。
重點歸納
記住這三個展開恆等式，能為你省下時間：
- $$(a - b)(a + b) = a² - b²$$
- $$(a + b)² = a² + 2ab + b²$$
- $$(a - b)² = a² - 2ab + b²$$
利用恆等式進行因式分解：逆向操作！
因式分解是展開的逆向操作。我們從答案（例如 $$x² - 25$$）開始，逆向推導找出原來的括號。同樣的三個恆等式就是我們的工具！
如果一開始覺得有點難，別擔心。關鍵是學會辨識模式！
因式分解平方差
如果你看到兩項完全平方數被一個減號隔開，你就可以使用這個恆等式！
公式： $$a² - b² = (a - b)(a + b)$$
例子：因式分解 y² - 49。
步驟一：找出模式。這是平方差嗎？是的！$$y²$$ 是一個平方數，$$49$$ 也是一個平方數（$$7²$$），而且它們之間有一個減號。
步驟二：找出「a」和「b」。是哪個數的平方得到每一項的呢？
$$a² = y² \rightarrow a = y$$
$$b² = 49 \rightarrow b = 7$$
步驟三：應用公式 $$(a - b)(a + b)$$。
答案：$$(y - 7)(y + 7)$$。
因式分解完全平方三項式
「三項式」就是指有三項的表達式。如果你看到有三項，請檢查它是否符合完全平方的模式。
公式：
- $$a² + 2ab + b² = (a + b)²$$
- $$a² - 2ab + b² = (a - b)²$$
如何辨識模式：三步檢查法
1. 首項是完全平方數嗎？($$a²$$)
2. 末項是完全平方數嗎？($$b²$$)
3. 中間項是 $$2 \times a \times b$$ 嗎？（也要檢查正負號！）
例子：因式分解 x² + 14x + 49。
步驟一：檢查首項和末項。
首項：$$x²$$。是的，這是 $$(x)²$$。所以，我們猜 a = x。
末項：$$49$$。是的，這是 $$7²$$。所以，我們猜 b = 7。
步驟二：檢查中間項。
公式要求中間項是 $$2ab$$。讓我們檢查一下：$$2 \times (x) \times (7) = 14x$$。完全符合！
步驟三：決定正負號。
中間項是 $$+14x$$，所以我們使用加號版本：$$(a + b)²$$。
答案：$$(x + 7)²$$。
重點歸納
要進行因式分解，尋找視覺線索！
- 兩項且帶有減號？檢查是否符合 $$a² - b²$$。
- 三項？檢查首項和末項是否為平方數，然後檢查中間項是否為 $$2ab$$。
你已掌握恆等式了！
太棒了！你已經學會了三個基本的恆等式，它們將會是你在代數裡最好的朋友。一開始它們可能看起來很多，但只要多加練習，你很快就會在各處發現它們的蹤影。
繼續練習使用它們進行展開和因式分解吧，很快你就會得心應手了。你一定能做到！