歡迎來到幾何學的世界！
同學仔們，你好呀！準備好探索奇妙的幾何學世界了嗎？你有沒有想過，電子遊戲是怎樣創造出型格的3D世界？大廈又為何可以屹立不倒？還有，我們是怎樣繪製整個地球的地圖的呢？答案就是幾何學！它是數學的一個分支，專門研究圖形的形狀、大小、位置，以及空間的特性。
聽起來好像很複雜？別擔心！我們會將它拆解成一個個簡單易懂的部分。想像一下，這就像玩積木一樣，只是多了一點邏輯和推理。現在就讓我們開始這個旅程吧！
第一部分：基本概念－直線、角和多邊形
角－構成圖形的基石
當兩條線在一個點相交時，便會形成角。我們以度(°)來量度角的大小。
主要角的特性：
• 直線上鄰角：在直線上的角加起來總是180°。想像一條平直的線就像半個圓圈。
（原因：直線上的鄰角）
• 點的角總和：圍繞一個點的角（形成一個完整的圓圈）加起來總是360°。
（原因：點的角總和）
• 對頂角：當兩條直線相交時，會形成一個『X』形。相互對應的角是相等的。
（原因：對頂角）
快速溫習：特殊角對
• 餘角：兩個角加起來是90°。（例如：40° 和 50°）
• 補角：兩個角加起來是180°。（例如：120° 和 60°）
平行線與截線
想像兩條永不相交的鐵路軌道－它們就是平行線。而一條橫跨它們的線則稱為截線。當這種情況發生時，就會出現特殊的角關係！
三個重要的關係（如果線是平行的話）：
1. 同位角相等。（想像一個『F』字形）。在相同『角落』的角是相等的。
（原因：同位角，AB // CD）
2. 內錯角相等。（想像一個『Z』字形）。在『Z』字形內部的角是相等的。
（原因：內錯角，AB // CD）
3. 同旁內角互補。（想像一個『C』或『U』字形）。在『C』字形內部的角加起來是180°。
（原因：同旁內角，AB // CD）
常見錯誤提示！
這些規則只適用於平行線。你也可以反過來利用這些規則，證明兩條線是平行的！
三角形－有三條邊的圖形
三角形是幾何學中最堅固和最重要的圖形之一。
三角形的特性：
• 三角形內角和：任何三角形的三個內角加起來總是180°。
（原因：Δ 內角和）
• 三角形外角：外角等於兩個相對的內角之和。
（原因：Δ 外角）
多邊形－有多條邊的圖形
多邊形是指任何由直線邊組成的2D圖形。三角形是多邊形，正方形、五邊形（5條邊）、六邊形（6條邊）等等都是。
正多邊形是指所有邊長相等且所有內角相等的圖形（例如：等邊三角形或正方形）。
凸多邊形（有『n』條邊）的公式：
• 內角和 = $$ (n - 2) \times 180° $$
例子：對於一個五邊形 (n=5)，內角和是 (5-2) x 180° = 3 x 180° = 540°。
• 外角和 = 360°
這是一個很酷的特性！對於任何凸多邊形，外角和永遠都是360°。想像你繞著圖形走一圈；你總共會轉一個完整的圓圈。
第一部分的重點：
幾何學從關於角和直線的簡單規則開始。知道直線上鄰角和三角形內角和都是180°，可以幫你解決大量問題！平行線的規則（F、Z、C字形）更是你的秘密武器。
第二部分：全等與相似－雙胞胎 vs. 樣貌相似的朋友
全等三角形（『一模一樣的雙胞胎』）
全等表示形狀和大小都完全相同。如果你能把一個三角形完全疊在另一個三角形上，它們就是全等的。
要證明兩個三角形全等，你不需要檢查所有東西。你只需要證明以下五個條件中的一個是正確的：
1. SSS（邊-邊-邊）：所有三對應邊都相等。
2. SAS（邊-角-邊）：兩邊和它們夾的角相等。
3. ASA（角-邊-角）：兩角和它們夾的邊相等。
4. AAS（角-角-邊）：兩角和一個對應的非夾邊相等。
5. RHS（直角-斜邊-邊）：兩個三角形都有一個直角，它們的斜邊相等，以及另一對應邊相等。
相似圖形（『樣貌相似的朋友』）
相似圖形形狀相同，但大小可能不同。其中一個是另一個的放大或縮小版本。想像一張照片和它的一個縮小副本。
相似三角形的條件：
1. AAA（角-角-角）：如果所有三個對應角都相等，那麼這些三角形就是相似的。（你只需要證明其中兩個角相等，第三個角會自動相等！所以我們通常只稱之為AA。）
2. 三邊成比例：對應邊的長度比率都相等。
3. 兩邊成比例且夾角相等：兩對應邊的比率相同，且這些邊的夾角相等。
相似與比率：
如果兩個圖形相似，且它們對應長度的比率是 $$L_1 : L_2$$，那麼：
• 它們的面積比率是 $$ (L_1)^2 : (L_2)^2 $$
• 它們的體積比率（對於3D圖形）是 $$ (L_1)^3 : (L_2)^3 $$
第二部分的重點：
全等 = 形狀相同，大小相同。使用 SSS、SAS、ASA、AAS 或 RHS 來證明。
相似 = 形狀相同，大小不同。使用 AA 來證明。別忘了面積和體積的特殊比例規則！
第三部分：特殊圖形及其奧秘
四邊形－四邊家族
四邊形是具有四條邊的多邊形。以下是這個家族的重要成員：
• 平行四邊形：有兩對平行邊的圖形。
特性：對邊相等，對角相等，對角線互相平分。
• 長方形：一個有四個直角的平行四邊形。
特性：具備所有平行四邊形的特性，再加上對角線相等。
• 菱形：一個有四條等邊的平行四邊形。
特性：具備所有平行四邊形的特性，再加上對角線互相垂直並平分角。
• 正方形：既是長方形也是菱形。它擁有一切！
特性：具備長方形和菱形的所有特性。
畢氏定理－直角三角形的超能力
這是數學中最著名的定理之一！它只適用於直角三角形。
該定理指出，對於一個直角三角形，如果較短的兩邊是『a』和『b』，而最長的一邊（斜邊）是『c』，那麼有：
$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
如何使用它：
• 找出斜邊（最長邊）：如果你知道『a』和『b』，你就能找出『c』。
• 找出較短的邊：如果你知道『c』和另外一條邊，你可以重新整理公式：$$ a^2 = c^2 - b^2 $$
畢氏定理的逆定理：
這個定理讓你檢查一個三角形是否直角三角形。如果你有一個三角形，其邊長為 a、b 和 c（其中 c 是最長邊），而且如果 $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ 是成立的，那麼這個三角形必定是一個直角三角形。
第三部分的重點：
了解四邊形的特定特性有助你快速解決問題。畢氏定理則是處理直角三角形問題時的必備工具！
第四部分：圖形上的幾何－坐標幾何
坐標幾何透過在x-y平面上放置圖形，將代數和幾何結合起來。每個點都有一個獨特的『地址』，稱為它的坐標 (x, y)。
三大重要公式：
假設你有兩點，點 A ($$x_1, y_1$$) 和點 B ($$x_2, y_2$$)。
1. 距離公式：找出連接兩點的線段長度。（它其實就是畢氏定理呀！）
$$ \text{Distance} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
2. 中點公式：找出線段中點的坐標。
$$ \text{Mid-point} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$
3. 斜率公式：找出直線的傾斜度（梯度）。
$$ \text{Slope (m)} = \frac{\text{Rise}}{\text{Run}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
理解斜率 (m)：
• 正斜率：線由左至右向上傾斜。/
• 負斜率：線由左至右向下傾斜。\
• 零斜率：一條完全平坦的水平線。—
• 未定義斜率：一條完全垂直的直線。|
平行線和垂直線的斜率：
• 平行線：擁有相同斜率。$$m_1 = m_2$$
• 垂直線：它們的斜率相乘結果為-1。$$m_1 \times m_2 = -1$$ （這代表它們的斜率互為「負倒數」，例如 2 和 -1/2。）
第四部分的重點：
只需三個主要公式（距離、中點、斜率），你就能找出坐標平面上圖形的幾乎所有資訊。平行線和垂直線的斜率規則更是超級重要！
第五部分：三角學簡介
三角學是關於三角形中角與邊長之間的關係，特別是直角三角形。它是一個強大的工具，廣泛應用於工程學、天文學等領域！
認識 SOH CAH TOA
首先，我們需要根據直角三角形的一個銳角（我們稱它為 θ）來命名它的邊：
• 斜邊 (H)：永遠是最長的邊，位於直角對面。
• 對邊 (O)：在角 θ 正對面的邊。
• 鄰邊 (A)：在角 θ 旁邊的邊（不是斜邊的那條）。
三個基本三角比是：
正弦：$$ \sin(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} $$ (SOH)
餘弦：$$ \cos(\theta) = \frac{\text{鄰邊}}{\text{斜邊}} $$ (CAH)
正切：$$ \tan(\theta) = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}} $$ (TOA)
助記口訣：
只要記住這個口訣：SOH CAH TOA！
實際應用
• 仰角：你從水平線向上看的角度。（例如：抬頭看樹頂的角度）。
• 俯角：你從水平線向下看的角度。（例如：從懸崖俯瞰船隻的角度）。
• 方位角：用於導航以描述方向，通常從正北方順時針量度。
第五部分的重點：
當你遇到混合了邊長和角的直角三角形問題時，SOH CAH TOA就是你的解題關鍵。它能幫助你在許多現實生活中找出未知的長度和角度。
第六部分：踏入3D世界－立體幾何
現在，讓我們從平面2D圖形，跳到立體3D圖形吧！
3D家族
• 稜柱：一個有兩個相同且平行底面及平坦側面的立體圖形。它的名稱來自於其底面的形狀（例如：三棱柱、圓柱體，其中圓柱體就是一種圓形底的稜柱）。
• 稜錐：一個有多邊形底面及三角形側面並在單一點（頂點）相交的立體圖形。（例如：四棱錐、圓錐體，其中圓錐體就是一種圓形底的稜錐）。
• 球體：一個完美的圓形3D物體，就像一個球。
體積和表面積
這是我們量度3D圖形的兩種主要方式。
• 體積：一個3D物體內部所佔的空間。（想想：它能裝多少水？）
• 表面積：一個3D物體所有表面的總面積。（想想：需要多少包裝紙來包裝它？）
主要公式（r = 半徑，h = 高度）：
• 圓柱體體積： $$ V = \pi r^2 h $$
• 圓錐體體積： $$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $$ （正好是底面和高度相同圓柱體的 1/3！）
• 球體體積： $$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$
• 圓柱體表面積： $$ SA = 2\pi r^2 + 2\pi rh $$ （兩個圓形底面 + 圍繞著的長方形）
• 球體表面積： $$ SA = 4\pi r^2 $$
第六部分的重點：
不用被3D圖形嚇倒！體積是關於內部的空間，而表面積是關於外部的表面。學會辨識圖形，然後從你的工具箱中選擇正確的公式吧。
第七部分：綜合運用－幾何證明
幾何證明是一個逐步推論的過程，它利用事實、定義和公認的特性來證明某個陳述是真實的。
如何撰寫一個簡單的證明：
1. 從「已知」開始。這是你的證據。
2. 說明你需要「證明」什麼。這是你的目標。
3. 進行邏輯推論。寫下一個你根據已知資訊認為是真實的陳述。
4. 為該步驟「提供理由」。這是最重要的一部分！你的理由可以是「對頂角」、「SAS」、「平行四邊形的特性」等等。
5. 重複步驟3和4，直到你達成目標。
例子：證明三角形全等。
如果已知 AC = DF、BC = EF 且 ∠C = ∠F，你可以這樣寫：
AC = DF (已知)
∠C = ∠F (已知)
BC = EF (已知)
因此，ΔABC ≅ ΔDEF (原因：SAS)
中點定理和截線定理
這些是證明中常用的強大定理。
• 中點定理：連接三角形兩邊中點的線段，會與第三邊平行，且長度是第三邊的一半。
• 截線定理：如果三條或更多平行線截兩條截線，那麼它們會將截線按比例截斷。
第七部分的重點：
證明就像當偵探一樣。你利用線索（已知資訊）和規則（定理）來建立一個論證。務必、務必、務必為你所做的每一個陳述提供理由！
你已經讀完這些筆記了！幾何學是一個龐大而令人興奮的課題。回頭看看各個部分，多練習一些題目，別害怕發問。你一定能行的！