歡迎來到對稱與變換嘅世界！
各位同學，大家好！準備好探索數學中最具視覺美感同創意嘅部分：對稱與變換。呢啲概念無處不在——無論係藝術品、大自然、電子遊戲，甚至你喺鏡入面見到嘅自己，都一樣見到佢哋嘅影子！
喺呢個章節入面，你會學識點樣將圖形翻轉、滑動同旋轉。就好似一個平面設計師或者動畫師咁，運用數學嚟控制物件嘅郁動。唔使擔心聽落好複雜；我哋會將佢一步步拆解，變得簡單又易明。咁我哋就開始啦！
第一部分：對稱 —— 平衡之美
咩係對稱？
對稱就係當一個圖形或者物件有完美平衡嘅感覺。如果你用某啲方式郁動佢（例如翻轉或者旋轉），佢都同原本個樣完全一樣。就好似蝴蝶嘅翅膀或者海星咁，對稱令佢哋睇落特別靚。
兩種主要嘅對稱類型
軸對稱（或線對稱）
呢種你可能最熟悉。如果一個圖形可以畫一條直線穿過佢，而兩邊都係對方嘅鏡像，咁佢就具有軸對稱。
呢條特別嘅線就叫做對稱軸。
- 例子：一個心形圖案有一條對稱軸，就喺正中間。
- 例子：一個正方形有四條對稱軸（你搵到晒未呀？）。
- 例子：字母「A」有一條垂直嘅對稱軸，而「E」就有一條水平嘅對稱軸。
旋轉對稱
如果一個圖形可以圍繞一個中心點旋轉，而喺未轉足360度之前，佢已經可以同原本個樣一樣，咁佢就具有旋轉對稱。
一個圖形喺轉動一圈期間，有幾多次睇落一樣，呢個數字就叫做佢嘅旋轉對稱次數。
- 例子：一個正方形圍繞中心旋轉時，會喺4個唔同位置睇落一樣。所以，佢嘅旋轉對稱次數係4。
- 例子：風車或者海星都具有旋轉對稱。
對稱嘅重點提示
對稱嘅核心就係平衡。軸對稱係指圖形沿一條線形成鏡像。旋轉對稱就係指圖形圍繞一個點旋轉後，睇落同原本一樣。
第二部分：變換 —— 郁動圖形
變換係一種改變圖形位置或者方向嘅方法。想像一下，就好似你畀指令一個圖形點樣移動咁。
要識嘅關鍵詞：
- 原圖形（Object）： 未經變換前嘅原本圖形。
- 影像（Image）： 經過變換後嘅新圖形。
我哋會學到嘅變換（平移、反射同旋轉）之所以特別，係因為佢哋唔會改變圖形嘅大小同角度。變換後嘅影像永遠同原圖形全等——佢哋就好似一模一樣嘅孖生兄弟咁，只不過係位置唔同或者方向轉咗啫！
首先，快速重溫：坐標平面
仲記唔記得坐標平面呀？佢係一個有兩條主要線嘅格仔圖：水平嘅x軸同垂直嘅y軸。佢哋相交嘅點叫做原點，坐標係$$(0, 0)$$。
我哋可以用坐標嚟搵到格仔圖上任何一點，寫做$$(x, y)$$。記住口訣：「要先沿住走廊行（x軸），先可以上落樓梯（y軸）。」
變換一：平移（滑動）
平移係最簡單嘅變換。佢只係「滑動」咁解。你會將圖形上面嘅每一個點，都沿住完全相同嘅距離同方向郁動。
生活實例：想像一下你將一隻國際象棋棋子喺棋盤上滑動。佢唔會翻轉亦都唔會轉動；佢只係滑去一個新嘅格仔。
點樣平移一個點
平移嘅指示會以左右同上下嘅郁動嚟表示。
- 向右郁動，x坐標會加。
- 向左郁動，x坐標會減。
- 向上郁動，y坐標會加。
- 向下郁動，y坐標會減。
如果一個點喺$$(x, y)$$，而我哋將佢水平平移$$a$$單位，垂直平移$$b$$單位，咁新嘅點（即係影像）就會喺$$(x+a, y+b)$$。
逐步例子：
我哋試吓將點A(2, 1)「向右平移4個單位，向上平移3個單位」。
1. 由原本嘅x坐標開始： 2
2. 向右郁動4個單位： $$2 + 4 = 6$$。新嘅x坐標係6。
3. 由原本嘅y坐標開始： 1
4. 向上郁動3個單位： $$1 + 3 = 4$$。新嘅y坐標係4。
5. 影像點A'就喺(6, 4)。
要小心避免嘅常見錯誤！
負方向要特別小心！「向左」郁動代表x坐標要減，「向下」郁動代表y坐標要減。唔好搞亂呀！
平移嘅重點提示
平移就係「滑動」。只要將x同y坐標加減，就可以搵到影像嘅新位置。
變換二：反射（翻轉）
反射就係「翻轉」。就好似照鏡咁。影像入面嘅每一個點，都同原圖形嘅對應點距離鏡面線嘅距離一樣。
呢條鏡面線就叫做反射軸。
沿x軸反射
當你將一點沿住水平嘅x軸反射時，就好似x軸係一個水氹咁。嗰點會「跳」到另一邊，但係離水氹邊緣嘅距離保持不變。
法則：將點$$(x, y)$$沿x軸反射，影像係$$(x, -y)$$。
簡單嚟講，x坐標唔變，而y坐標就變號！
例子：將點B(3, 4)沿x軸反射，得到嘅影像係B'(3, -4)。
沿y軸反射
當你將一點沿住垂直嘅y軸反射時，y軸就係塊鏡。
法則：將點$$(x, y)$$沿y軸反射，影像係$$(-x, y)$$。
今次y坐標唔變，而x坐標就變號！
例子：將點C(-2, 5)沿y軸反射，得到嘅影像係C'(2, 5)。
記憶小貼士：
記住呢啲法則有一個簡單方法：
- 當你沿x軸反射時，x坐標保持不變。
- 當你沿y軸反射時，y坐標保持不變。
沿其他水平或垂直線反射
有時反射軸唔係坐標軸呀！如果需要沿直線y = 2或者x = -1反射又點算呢？
「數格仔」方法：
1. 喺你嘅原圖形上選取一個點。
2. 由嗰個點直接數格仔去到反射軸。
3. 喺反射軸嘅另一邊，數相同數量嘅格仔。
4. 嗰度就係你影像點嘅位置！圖形所有嘅角位都重複呢個步驟。
反射嘅重點提示
反射就係圖形沿一條線「翻轉」。如果反射軸係坐標軸，只需要將「另一邊」坐標嘅符號變轉。如果係其他線，就用數格仔嘅方法啦！
變換三：旋轉（轉動）
旋轉就係「轉動」。一個圖形會圍繞一個固定點轉動，呢個點叫做旋轉中心。喺我哋嘅課堂入面，旋轉中心會永遠都係原點(0, 0)。
要描述一個旋轉，你需要三樣嘢：
1. 旋轉中心（對我哋嚟講永遠都係原點）。
2. 旋轉角（例如：$$90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$$）。
3. 旋轉嘅方向（順時針或者逆時針）。
你知唔知呀？
喺數學入面，逆時針方向被視為旋轉嘅「正」方向。呢個係我哋測量旋轉角嘅標準方式嚟㗎！
圍繞原點(0,0)旋轉嘅坐標法則
呢啲法則初頭睇落可能好似好難記，但佢哋其實有規律可循㗎。我哋集中睇吓標準嘅逆時針方向旋轉啦。
對於任何一點$$(x, y)$$：
逆時針旋轉90°：新點係$$(-y, x)$$。
（小秘訣：將x同y調轉，然後將新嘅第一個數字變號）旋轉180°（任何方向都得）：新點係$$(-x, -y)$$。
（小秘訣：將x同y兩個坐標都變號就得）逆時針旋轉270°：新點係$$(y, -x)$$。
（小秘訣：將x同y調轉，然後將新嘅第二個數字變號）
快速提示：順時針旋轉90°等同於逆時針旋轉270°。而順時針旋轉270°又等同於逆時針旋轉90°！
逐步例子：
我哋試吓將點D(4, 2)圍繞原點逆時針旋轉90°。
1. 原點： $$(x, y) = (4, 2)$$。
2. 逆時針旋轉90°嘅法則係： $$(x, y) \to (-y, x)$$。
3. 應用法則：新嘅x坐標會係-y，所以係-2。新嘅y坐標會係x，所以係4。
4. 影像點D'就喺(-2, 4)。
旋轉嘅重點提示
旋轉就係圍繞一個點（對我哋嚟講就係原點）「轉動」。記熟90°、180°同270°逆時針旋轉嘅三個關鍵法則啦。佢哋就係你嘅秘密武器！
第三部分：密鋪平面 —— 完美鑲嵌嘅圖案
密鋪平面就係由一個或多個圖形組成嘅圖案，佢哋可以完美地拼合埋一齊，冇任何空隙或者重疊。就好似鋪地磚咁！
生活實例：蜜蜂築嘅蜂巢、磚牆、浴室地磚。
點解有啲圖形可以密鋪平面？
秘密就喺啲角位度！一個圖形要能夠密鋪平面，所有喺某一個點（叫做頂點）相遇嘅角位，佢哋嘅角度加埋必須要啱啱好係360度。如果加埋少過360度，就會有空隙。如果加埋多過360度，佢哋就會重疊。
邊啲正多邊形可以密鋪平面？
只有三種正多邊形可以單獨密鋪平面：
- 等邊三角形：每個角都係60°。六個等邊三角形可以喺一個點相遇（$$6 \times 60^\circ = 360^\circ$$）。
- 正方形：每個角都係90°。四個正方形可以喺一個點相遇（$$4 \times 90^\circ = 360^\circ$$）。
- 正六邊形：每個角都係120°。三個正六邊形可以喺一個點相遇（$$3 \times 120^\circ = 360^\circ$$）。
正五邊形唔可以密鋪平面，因為佢嘅內角係108°，而108乘任何整數都唔會係360！
你知唔知呀？
所有三角形（唔單止等邊三角形）同所有四邊形（唔單止正方形）都可以密鋪平面㗎！呢個係因為佢哋嘅內角和（三角形係180°，四邊形係360°）都可以完美地被360度整除。
密鋪平面嘅重點提示
密鋪平面就係用冇空隙或重疊嘅圖形嚟「鋪砌」出圖案。所有相遇點嘅角度加埋必須啱啱好係$$360^\circ$$。
章節總結
嘩，你學到好多嘢呀！你而家已經可以好似個專業人士咁，喺坐標平面上郁動圖形。嚟啦，一齊快速重溫晒所有內容！
快速溫習箱
- 對稱：圖形具有完美平衡。可以係軸對稱（鏡像）或者旋轉對稱（轉動後睇落一樣）。
- 平移（滑動）：唔轉動、唔翻轉咁郁動圖形。只需對坐標進行加減。
$$(x, y) \to (x+a, y+b)$$
- 反射（翻轉）：將圖形沿反射軸翻轉。
- 沿x軸反射：$$(x, y) \to (x, -y)$$
- 沿y軸反射：$$(x, y) \to (-x, y)$$
- 旋轉（轉動）：將圖形圍繞原點$$(0,0)$$轉動。
- 逆時針90°：$$(x, y) \to (-y, x)$$
- 180°：$$(x, y) \to (-x, -y)$$
- 逆時針270°：$$(x, y) \to (y, -x)$$
- 密鋪平面（鋪砌）：由冇空隙或重疊嘅圖形組成嘅重複圖案。任何頂點嘅角度加埋必須係$$360^\circ$$。
繼續練習呢啲變換啦，你會喺藝術、設計同大自然入面，周圍都搵到佢哋㗎！做得好好呀！