歡迎來到對稱與變換的世界！
各位同學，大家好！準備好探索數學中最具視覺美感與創意的一部分：對稱與變換。這些概念無處不在——無論是藝術品、大自然、電子遊戲，甚至你在鏡中見到的自己，都一樣看到它們的影子！
在這個章節中，你會學會如何將圖形翻轉、滑動與旋轉。就好像一個平面設計師或動畫師般，運用數學來控制物件的移動。不用擔心聽起來很複雜；我們會將它一步步拆解，變得簡單又易懂。那麼我們就開始吧！
第一部分：對稱 —— 平衡之美
什麼是對稱？
對稱就是當一個圖形或物件有完美平衡的感覺。如果你用某些方式移動它（例如翻轉或旋轉），它都與原本的樣子完全一樣。就好像蝴蝶的翅膀或海星般，對稱讓它們看起來特別美。
兩種主要的對稱類型
軸對稱（或線對稱）
這種你可能最熟悉。如果一個圖形可以畫一條直線穿過它，而兩邊都是對方的鏡像，那麼它就具有軸對稱。
這條特別的線就叫做對稱軸。
- 例子：一個心形圖案有一條對稱軸，就在正中間。
- 例子：一個正方形有四條對稱軸（你都找到了嗎？）。
- 例子：字母「A」有一條垂直的對稱軸，而「E」就有一條水平的對稱軸。
旋轉對稱
如果一個圖形可以圍繞一個中心點旋轉，而在未轉足360度之前，它已經可以與原本的樣子一樣，那麼它就具有旋轉對稱。
一個圖形在轉動一圈期間，有幾次看起來一樣，這個數字就叫做它的旋轉對稱次數。
- 例子：一個正方形圍繞中心旋轉時，會在4個不同位置看起來一樣。所以，它的旋轉對稱次數是4。
- 例子：風車或海星都具有旋轉對稱。
對稱的重點提示
對稱的核心就是平衡。軸對稱是指圖形沿一條線形成鏡像。旋轉對稱就是指圖形圍繞一個點旋轉後，看起來與原本一樣。
第二部分：變換 —— 移動圖形
變換是一種改變圖形位置或方向的方法。想像一下，就好像你給指令一個圖形如何移動般。
要認識的關鍵詞：
- 原圖形（Object）： 未經變換前的原本圖形。
- 影像（Image）： 經過變換後的新圖形。
我們會學到的變換（平移、反射與旋轉）之所以特別，是因為它們不會改變圖形的大小與角度。變換後的影像永遠與原圖形全等——它們就好像一模一樣的雙胞胎兄弟般，只不過是位置不同或方向轉變了而已！
首先，快速重溫：坐標平面
還記得坐標平面嗎？它是一個有兩條主要線的網格圖：水平的x軸與垂直的y軸。它們相交的點叫做原點，坐標是$$(0, 0)$$。
我們可以用坐標來找到網格圖上任何一點，寫做$$(x, y)$$。記住口訣：「要先沿著走廊走（x軸），才可以上下樓梯（y軸）。」
變換一：平移（滑動）
平移是最簡單的變換。它只是「滑動」的意思。你會將圖形上的每一個點，都沿著完全相同的距離與方向移動。
生活實例：想像一下你將一枚國際象棋棋子在棋盤上滑動。它不會翻轉也不會轉動；它只是滑到一個新的格子。
如何平移一個點
平移的指示會以左右與上下的移動來表示。
- 向右移動，x坐標會加。
- 向左移動，x坐標會減。
- 向上移動，y坐標會加。
- 向下移動，y坐標會減。
如果一個點在$$(x, y)$$，而我們將它水平平移$$a$$單位，垂直平移$$b$$單位，那麼新的點（即是影像）就會在$$(x+a, y+b)$$。
逐步例子：
我們試著將點A(2, 1)「向右平移4個單位，向上平移3個單位」。
1. 從原本的x坐標開始： 2
2. 向右移動4個單位： $$2 + 4 = 6$$。新的x坐標是6。
3. 從原本的y坐標開始： 1
4. 向上移動3個單位： $$1 + 3 = 4$$。新的y坐標是4。
5. 影像點A'就在(6, 4)。
要小心避免的常見錯誤！
負方向要特別小心！「向左」移動代表x坐標要減，「向下」移動代表y坐標要減。不要搞混了！
平移的重點提示
平移就是「滑動」。只要將x與y坐標加減，就可以找到影像的新位置。
變換二：反射（翻轉）
反射就是「翻轉」。就好像照鏡子般。影像中的每一個點，都與原圖形的對應點距離鏡面線的距離一樣。
這條鏡面線就叫做反射軸。
沿x軸反射
當你將一點沿著水平的x軸反射時，就好像x軸是一個水窪般。那點會「跳」到另一邊，但是離水窪邊緣的距離保持不變。
法則：將點$$(x, y)$$沿x軸反射，影像是$$(x, -y)$$。
簡單來說，x坐標不變，而y坐標就變號！
例子：將點B(3, 4)沿x軸反射，得到的影像是B'(3, -4)。
沿y軸反射
當你將一點沿著垂直的y軸反射時，y軸就是塊鏡子。
法則：將點$$(x, y)$$沿y軸反射，影像是$$(-x, y)$$。
這次y坐標不變，而x坐標就變號！
例子：將點C(-2, 5)沿y軸反射，得到的影像是C'(2, 5)。
記憶小貼士：
記住這些法則有一個簡單方法：
- 當你沿x軸反射時，x坐標保持不變。
- 當你沿y軸反射時，y坐標保持不變。
沿其他水平或垂直線反射
有時反射軸不是坐標軸！如果需要沿直線y = 2或x = -1反射又該怎麼辦呢？
「數格子」方法：
1. 在你的原圖形上選取一個點。
2. 從那個點直接數格子到反射軸。
3. 在反射軸的另一邊，數相同數量的格子。
4. 那裡就是你影像點的位置！圖形所有的角位都重複這個步驟。
反射的重點提示
反射就是圖形沿一條線「翻轉」。如果反射軸是坐標軸，只需要將「另一邊」坐標的符號變換。如果是其他線，就用數格子 的方法吧！
變換三：旋轉（轉動）
旋轉就是「轉動」。一個圖形會圍繞一個固定點轉動，這個點叫做旋轉中心。在我們的課堂中，旋轉中心會永遠都是原點(0, 0)。
要描述一個旋轉，你需要三樣東西：
1. 旋轉中心（對我們來說永遠都是原點）。
2. 旋轉角（例如：$$90^
circ, 180^
circ, 270^
circ$$）。
3. 旋轉的方向（順時針或逆時針）。
你知道嗎？
在數學中，逆時針方向被視為旋轉的「正」方向。這是我們測量旋轉角的標準方式！
圍繞原點(0,0)旋轉的坐標法則
這些法則起初看起來可能好像很難記，但它們其實有規律可循。我們集中看看標準的逆時針方向旋轉吧。
對於任何一點$$(x, y)$$：
逆時針旋轉90°：新點是$$(-y, x)$$。
（小秘訣：將x與y調換，然後將新的第一個數字變號）旋轉180°（任何方向都可）：新點是$$(-x, -y)$$。
（小秘訣：將x與y兩個坐標都變號即可）逆時針旋轉270°：新點是$$(y, -x)$$。
（小秘訣：將x與y調換，然後將新的第二個數字變號）
快速提示：順時針旋轉90°等同於逆時針旋轉270°。而順時針旋轉270°又等同於逆時針旋轉90°！
逐步例子：
我們試著將點D(4, 2)圍繞原點逆時針旋轉90°。
1. 原點： $$(x, y) = (4, 2)$$。
2. 逆時針旋轉90°的法則是： $$(x, y) o (-y, x)$$。
3. 應用法則：新的x坐標會是-y，所以是-2。新的y坐標會是x，所以是4。
4. 影像點D'就在(-2, 4)。
旋轉的重點提示
旋轉就是圍繞一個點（對我們來說就是原點）「轉動」。記熟90°、180°與270°逆時針旋轉的三個關鍵法則吧。它們就是你的秘密武器！
第三部分：密鋪平面 —— 完美鑲嵌的圖案
密鋪平面就是由一個或多個圖形組成的圖案，它們可以完美地拼合在一起，沒有任何空隙或重疊。就好像鋪地磚般！
生活實例：蜜蜂築的蜂巢、磚牆、浴室地磚。
為何有些圖形可以密鋪平面？
秘密就在那些角位上！一個圖形要能夠密鋪平面，所有在某一個點（叫做頂點）相遇的角位，它們的角度加起來必須要剛好是360度。如果加起來少於360度，就會有空隙。如果加起來多於360度，它們就會重疊。
哪些正多邊形可以密鋪平面？
只有三種正多邊形可以單獨密鋪平面：
- 等邊三角形：每個角都是60°。六個等邊三角形可以在一個點相遇（$$6 imes 60^
circ = 360^
circ$$）。
- 正方形：每個角都是90°。四個正方形可以在一個點相遇（$$4 imes 90^
circ = 360^
circ$$）。
- 正六邊形：每個角都是120°。三個正六邊形可以在一個點相遇（$$3 imes 120^
circ = 360^
circ$$）。
正五邊形不可以密鋪平面，因為它的內角是108°，而108乘任何整數都不會是360！
你知道嗎？
所有三角形（不只等邊三角形）與所有四邊形（不只正方形）都可以密鋪平面！這是因為它們的內角和（三角形是180°，四邊形是360°）都可以完美地被360度整除。
密鋪平面的重點提示
密鋪平面就是用沒有空隙或重疊的圖形來「鋪砌」出圖案。所有相遇點的角度加起來必須剛好是$$360^ circ$$。
章節總結
哇，你學到好多東西啊！你現在已經可以像個專業人士般，在坐標平面上移動圖形。來吧，一起快速重溫所有內容！
快速溫習箱
- 對稱：圖形具有完美平衡。可以是軸對稱（鏡像）或旋轉對稱（轉動後看起來一樣）。
- 平移（滑動）：不轉動、不翻轉地移動圖形。只需對坐標進行加減。
$$(x, y) o (x+a, y+b)$$
- 反射（翻轉）：將圖形沿反射軸翻轉。
- 沿x軸反射：$$(x, y) o (x, -y)$$
- 沿y軸反射：$$(x, y) o (-x, y)$$
- 旋轉（轉動）：將圖形圍繞原點$$(0,0)$$轉動。
- 逆時針90°：$$(x, y) o (-y, x)$$
- 180°：$$(x, y) o (-x, -y)$$
- 逆時針270°：$$(x, y) o (y, -x)$$
- 密鋪平面（鋪砌）：由沒有空隙或重疊的圖形組成的重複圖案。任何頂點的角度加起來必須是$$360^
circ$$。
繼續練習這些變換吧，你會在藝術、設計與大自然中，到處都找到它們！做得很好！