歡迎嚟到多項式嘅世界！
哈囉，未來嘅數學精英！準備好一齊探索代數裡面一個超重要嘅課題：多項式喇！呢個字聽落可能好複雜，但其實佢只係一啲特定數學數式嘅統稱，佢哋係好多好嘢嘅「基石」嚟㗎！
喺呢一章，我哋會學點樣去理解、構造同埋拆解呢啲數式。就好似學緊代數嘅文法咁！學識咗，之後你就可以解決更複雜嘅問題喇。咁，事不宜遲，等我哋一齊嚟睇吓多項式到底係啲乜嘢啦！
第一部分：多項式嘅基本構成
首先，我哋要學識呢種「語言」。唔使擔心，佢比你想像中簡單㗎！等我哋睇吓一個多項式嘅例子，然後拆解佢：$$5x^2 - 2x + 8$$
一個數式有啲乜嘢？基本組成部分
每個多項式都由幾個主要部分組成：
- 項 (Terms)： 佢哋係數式裡面被加起或者減去嘅部分。喺我哋嘅例子入面，啲項就係 $$5x^2$$、$$-2x$$ 同埋 $$8$$。
- 變數 (Variable)： 係項裡面嘅字母，代表一個我哋仲未知嘅數字。喺我哋嘅例子入面，變數就係 x。多項式可以有多過一個變數，例如 x 同 y。
- 係數 (Coefficient)： 呢個係同變數相乘嘅數字。喺項 $$5x^2$$ 入面，係數就係 5。喺項 $$-2x$$ 入面，係數就係 -2。咁如果係 $$y^3$$ 呢啲項呢？佢嘅係數就係 1 喇，佢只係「隱形」咗啫！
- 常數項 (Constant Term)： 呢啲係只有數字，冇變數嘅項。喺我哋嘅例子入面，常數項就係 8。
- 冪 / 指數 (Power or Exponent)： 呢個係寫喺變數右上角嘅小數字。佢話你知要將變數乘以自己幾多次。喺 $$5x^2$$ 入面，個指數就係 2。喺 $$-2x$$ 入面，個指數係個「隱形」嘅 1（因為 $$x^1 = x$$）。
認識多項式家族：單項式、二項式等等！
我哋會根據多項式有幾多個項嚟俾佢哋特別嘅名。想像佢哋好似一個音樂組合咁：
- 單項式 (Monomial)： 只有一個項嘅數式。（例子：$$7y$$ 或者 $$-4x^2$$）。佢係個獨唱歌手！
- 二項式 (Binomial)： 有兩個項嘅數式。（例子：$$3a + 5$$）。佢係個雙人組合！
- 三項式 (Trinomial)： 有三個項嘅數式。（例子：$$5x^2 - 2x + 8$$）。佢係個三人組合！
- 多項式 (Polynomial)： 呢個係對所有有一個或以上項嘅數式嘅統稱。佢係成個管弦樂團呀！
你嘅「次數」係幾多？理解多項式嘅次數
一個項嘅次數就係佢嘅指數。而一個多項式嘅次數，就係佢所有項入面最高嘅次數。
例子：喺 $$6y^4 + 2y^2 - 10$$ 入面，各項嘅次數分別係 4、2 同埋 0（常數項嘅次數係 0）。最高嘅次數係 4，所以呢個多項式嘅次數就係 4。
井井有條：升冪與降冪排列
為咗令我哋嘅計算更整齊，我哋通常會按照多項式項嘅指數，將佢哋排成特定嘅順序。
- 降冪排列 (Descending Order)： 將項從最高次數排到最低次數。呢種係最常用嘅多項式寫法。
例子：$$2x + 9 - 5x^3$$ 會變成 $$-5x^3 + 2x + 9$$ - 升冪排列 (Ascending Order)： 將項從最低次數排到最高次數。
例子：$$2x + 9 - 5x^3$$ 會變成 $$9 + 2x - 5x^3$$
尋找「孖仔」：同類項與非同類項
呢個概念對我哋下一步嘅學習超級重要㗎！
同類項 (Like Terms) 係指擁有完全相同嘅變數，並且變數嘅指數都完全相同嘅項。佢哋嘅係數可以唔同。
比喻嚟講： 想像吓蘋果同橙。你可以將 3 個蘋果加 5 個蘋果變成 8 個蘋果。但你唔可以將 3 個蘋果加 5 個橙呀嘛。
- $$3x^2$$ 同 $$8x^2$$ 係同類項（佢哋都係「x平方」）。
- $$5y$$ 同 $$-2y$$ 係同類項（佢哋都係「y」）。
- $$4xy$$ 同 $$7xy$$ 係同類項。
- $$3x^2$$ 同 $$8x$$ 係非同類項，因為佢哋嘅指數唔同（2 同 1）。
- $$5y$$ 同 $$5z$$ 係非同類項，因為佢哋嘅變數唔同。
第一部分重點歸納
多項式係由「項」組成嘅數式。我哋透過觀察佢嘅係數、變數同埋指數嚟理解佢。我哋可以根據項嘅數目（單項式、二項式等）或者佢嘅次數嚟將佢分類。而最重要嘅技能，就係要識得分辨同類項！
第二部分：實戰時間！多項式嘅運算
依家我哋識咗呢種「語言」喇，不如開始動手處理多項式啦！其實佢都係合併同類項啫！
加法與減法：其實都係合併同類項啫！
要將多項式進行加法或者減法運算，你只需要搵出同類項，然後合併佢哋。係咪好簡單呢！
逐步學習加法：
例子：求 $$(3x^2 + 5x - 2)$$ 同 $$(4x^2 - 8x + 7)$$ 嘅和。
- 步驟 1： 寫出算式並去除括號。
$$3x^2 + 5x - 2 + 4x^2 - 8x + 7$$ - 步驟 2： 將同類項組合埋一齊。（用顏色標示會幫到你㗎！）
$$(3x^2 + 4x^2) + (5x - 8x) + (-2 + 7)$$ - 步驟 3： 合併同類項嘅係數。
$$7x^2 - 3x + 5$$
呢個就係你嘅答案喇！
逐步學習減法（小心正負號呀！）：
例子：求 $$(9y^2 - 2y + 4) - (5y^2 + 3y - 1)$$ 嘅值。
- 步驟 1： 寫出算式。中間嘅減號就好似一個 -1 咁。我哋需要將佢乘入第二個括號裡面嘅每一個項。咁樣佢哋所有嘅正負號都會「翻轉」㗎！
$$9y^2 - 2y + 4 -1(5y^2 + 3y - 1)$$
$$9y^2 - 2y + 4 - 5y^2 - 3y + 1$$ - 步驟 2： 將同類項組合埋一齊。
$$(9y^2 - 5y^2) + (-2y - 3y) + (4 + 1)$$ - 步驟 3： 合併係數。
$$4y^2 - 5y + 5$$
常見錯誤提示！ 最常見嘅錯誤，就係做減法嗰陣，唔記得將第二個括號入面所有項嘅符號都改變。記得要小心呀！
多項式嘅乘法：展開嘅藝術
乘法就有些少唔同喇。規則係：第一個多項式裡面嘅每個項，都必須同第二個多項式裡面嘅每個項相乘。
例子：將 $$(x + 2)$$ 乘以 $$(x + 5)$$
我哋需要將第一個括號裡面嘅 x 乘晒第二個括號入面嘅所有項，然後再將第一個括號裡面嘅 2 乘晒第二個括號入面嘅所有項。
$$x \cdot (x + 5) \quad \text{and} \quad +2 \cdot (x + 5)$$
$$(x \cdot x) + (x \cdot 5) \quad + \quad (2 \cdot x) + (2 \cdot 5)$$
$$x^2 + 5x + 2x + 10$$
最後，合併任何同類項：
$$x^2 + 7x + 10$$
你知唔知？ 有啲人會用口訣 FOIL (First, Outer, Inner, Last，即「頭、外、內、尾」) 嚟記住點樣展開兩個二項式，但最主要嘅概念，都係要確保第一個多項式嘅每個項都乘晒第二個多項式嘅每個項。
第二部分重點歸納
多項式嘅加法同減法都係關於合併同類項。做減法嗰陣，記得要將第二個多項式裡面所有項嘅符號都改變。而做乘法嘅時候，就要確保第一個多項式裡面嘅每個項都同第二個多項式裡面嘅每個項「跳晒舞」！（即係全部都要相乘一次！）
第三部分：逆向思維——因式分解嘅魔法
因式分解就係乘法嘅反向操作。我哋會由答案開始（例如 $$x^2 + 7x + 10$$），然後試吓搵返原本嘅題目（即係因子，好似 $$(x+2)(x+5)$$ 咁）。
比喻嚟講： 如果乘法係將一套Lego模型砌好，咁因式分解就係將砌好嘅模型拆開，然後搵返原本有啲乜嘢零件喺個盒裡面！
方法一：提取最高公因數（GCF）
呢個係你永遠都應該首先檢查嘅嘢。有冇一個因子係所有項都共同擁有嘅呢？如果有，就將佢提取出嚟啦！
例子：因式分解 $$6x^2 + 12x$$
- 步驟 1：睇吓數字（6 同 12）。 有邊個最大嘅數字可以同時整除佢哋兩個？答案係 6。
- 步驟 2：睇吓變數（$$x^2$$ 同 $$x$$）。 有邊個最高次數嘅 x 係兩個項都有嘅？答案係 x。
- 步驟 3：組合佢哋。 最高公因數就係 $$6x$$。將佢寫喺括號外面：$$6x( \quad )$$。
- 步驟 4：計吓括號裡面淨低啲乜嘢。 將原本嘅每個項都除以最高公因數。
$$6x^2 \div 6x = x$$
$$12x \div 6x = 2$$ - 步驟 5：將結果寫入括號裡面。
$$6x(x + 2)$$
你可以透過展開佢嚟檢查答案：$$6x(x+2) = 6x^2 + 12x$$。啱晒！
方法二：分組分解法
呢個方法通常喺你有四個項嘅時候用。
例子：因式分解 $$xy + 3x + 2y + 6$$
- 步驟 1：將啲項分做兩組。
$$(xy + 3x) + (2y + 6)$$ - 步驟 2：搵出第一組嘅最高公因數。 $$xy + 3x$$ 嘅最高公因數係 x。
$$x(y + 3) + (2y + 6)$$ - 步驟 3：搵出第二組嘅最高公因數。 $$2y + 6$$ 嘅最高公因數係 2。
$$x(y + 3) + 2(y + 3)$$ - 步驟 4：留意共同嘅括號！ 兩部分依家都有一個 $$(y+3)$$ 嘅因子。呢個就係我哋新嘅最高公因數喇。
將共同嘅括號 $$(y+3)$$ 提取出嚟。淨低啲乜嘢呢？就係「外面」嘅項：x 同 +2。佢哋會組成第二個括號。 - 步驟 5：寫出最終答案。
$$(y + 3)(x + 2)$$
方法三：十字相乘法（適用於三項式）
呢個係一個好有用嘅視覺化方法，用嚟因式分解 $$ax^2 + bx + c$$ 呢類三項式。佢就好似一個拼圖遊戲咁！
例子：因式分解 $$x^2 + 7x + 12$$
- 步驟 1：寫出第一項（$$x^2$$）同埋最後一項（12）。 搵出佢哋各自嘅因子組合。
$$x^2$$ 嘅因子：(x, x)
12 嘅因子：(1, 12), (2, 6), (3, 4) - 步驟 2：畫一個十字。 將第一項嘅因子放喺左邊，將最後一項嘅一對因子放喺右邊。等我哋試吓 (3, 4)。
x 3
\ /
/ \
x 4 - 步驟 3：交叉相乘。
$$x \cdot 4 = 4x$$
$$x \cdot 3 = 3x$$ - 步驟 4：將結果相加。 睇吓佢有冇符合我哋原本三項式嘅中間項？
$$4x + 3x = 7x$$
有呀，啱晒！呢個意思就係我哋揀咗啱嘅因子啦。 - 步驟 5：寫出答案。 因子就係橫行嘅項。
上面嗰行係 $$(x + 3)$$。
下面嗰行係 $$(x + 4)$$。
所以，$$x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$$。
初頭覺得呢個方法有啲難都唔使擔心！最重要係不斷練習，嘗試唔同嘅因子組合，直到交叉相乘嘅結果加埋之後，可以得出中間項為止。多加練習，你就會越嚟越快㗎喇！
第三部分重點歸納
因式分解係「反向乘法」。永遠都係先檢查有冇最高公因數（GCF）。如果係四個項，就試吓用分組分解法。如果係三項式，十字相乘法就係你嘅好幫手。熟能生巧！