歡迎來到坐標幾何！
各位同學！準備好探索數學中最精彩的部分之一了嗎？那就是坐標幾何！它聽起來可能很專業，但其實就是把幾何（形狀）和代數（數字和字母）結合起來。你可以想像成給平面上的每個點一個「地址」。它就像一張超級強化版的地圖，又像一場超級版的「戰艦遊戲」！
在本章中，你將學習如何用數字來描述點和線，如何計算距離和斜率，甚至是如何在網格上移動圖形。這些技能應用非常廣泛，從製作電子遊戲和動畫，到設計建築物和繪製新地圖，無處不在。我們現在就開始吧！
1. 基本概念：坐標平面
什麼是坐標平面？
想像一個平面，就像一張方格紙，上面畫了兩條特殊的線。這就是一個直角坐標平面（或笛卡兒坐標平面）。
- 水平的線稱為x軸。
- 鉛垂的線稱為y軸。
- 兩條線相交的點稱為原點。原點的地址是 (0, 0)。
比喻：想像一個城市。x軸就像主要的東西向街道，y軸就像主要的南北向大道。原點就是它們相交的市中心。
認識坐標：(x, y)
平面上的每個點都有一個獨特的地址，寫成一對有序的數字，稱為坐標：(x, y)。
- 第一個數字（x坐標）告訴你沿著x軸向左或向右移動多遠。
- 第二個數字（y坐標）告訴你沿著y軸向上或向下移動多遠。
記憶小竅門：「先跑後跳！」
一個簡單的記憶方法是：你必須先在地面上「跑」（沿著x軸），然後才能向上或向下「跳」（沿著y軸）。所以，永遠是 (跑, 跳) 或 (x, y)。
如何標示點
我們來標示點 A(4, 3)。
- 從原點 (0, 0) 開始。
- 沿x軸「跑」：x坐標是4，所以向右移動4個單位（正方向）。
- 沿y軸「跳」：y坐標是3，所以從你所在的位置向上移動3個單位（正方向）。
- 標上這個點！這就是點A。
那負數呢？負x坐標代表向左移動。負y坐標代表向下移動。所以，對於B(-2, -5)，你將從原點向左移動2個單位，然後向下移動5個單位。
重點提示
坐標平面給予每個點一個地址 (x, y)。'x' 表示水平位置（左/右），'y' 表示鉛垂位置（上/下）。
2. 計算距離
簡單的距離：水平線和鉛垂線
如果兩個點在同一條水平線或鉛垂線上，計算它們之間的距離就很容易了。
- 對於水平線：y坐標相同。只需找出x坐標的差值。
例子：A(2, 5) 和 B(7, 5) 之間的距離是 $$7 - 2 = 5$$ 個單位。 - 對於鉛垂線：x坐標相同。只需找出y坐標的差值。
例子：C(3, 1) 和 D(3, 6) 之間的距離是 $$6 - 1 = 5$$ 個單位。
重頭戲：距離公式
如果線段是斜的怎麼辦？別擔心！我們有一個強大的工具叫做距離公式。它看起來有點複雜，但其實就是畢氏定理的另一種形式。
對於任意兩個點 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，它們之間的距離 'd' 是：
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$逐步示例
我們來計算 P(1, 2) 和 Q(5, 5) 之間的距離。
- 標示你的點：設 $$P = (x_1, y_1)$$，所以 $$x_1=1, y_1=2$$。設 $$Q = (x_2, y_2)$$，所以 $$x_2=5, y_2=5$$。
- 代入公式： $$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 2)^2}$$
- 計算括號內的值： $$d = \sqrt{(4)^2 + (3)^2}$$
- 將數字平方： $$d = \sqrt{16 + 9}$$
- 將它們相加： $$d = \sqrt{25}$$
- 求平方根： $$d = 5$$
P 和 Q 之間的距離是 5 個單位！
常見錯誤警示！
處理負數時要小心！請記住，負數平方後結果永遠是正數。例如，$$(-4)^2 = 16$$，而不是 -16。
重點提示
距離公式幫助你找出坐標平面上任意兩點之間的線段長度。它是解決許多幾何問題的關鍵工具。
3. 尋找中間：中點公式
什麼是中點？
中點是指位於另外兩個點正中間的點。它是線段的中心。
比喻：如果你和朋友坐在蹺蹺板的兩端，中點就是中間的支點！
中點公式
尋找中點就像找出x坐標的平均值和y坐標的平均值一樣。
對於兩個點 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，中點 'M' 是：
$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$逐步示例
找出連接 A(-2, 3) 和 B(6, 9) 的線段的中點。
- 找出你的坐標： $$x_1 = -2, y_1 = 3, x_2 = 6, y_2 = 9$$。
- 找出x坐標的平均值： $$\frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
- 找出y坐標的平均值： $$\frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$$
- 寫出坐標：中點是 (2, 6)。
更進一步：分點公式（內分）
這是一個稍微進階的話題。它幫助你找出一個點，該點將線段按特定比例（不只是平分）分開。
如果點 P 將連接 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 的線段按 m:n 的比分開，則它的坐標是：
$$P(x,y) = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n} \right)$$重點提示
中點公式是一種快速找出線段確切中心的方法，只需對x和y坐標求平均值即可。
4. 斜率：線有多陡峭？
什麼是斜率？
斜率是一個數字，它告訴我們一條線有多陡峭。它通常用字母 m 表示。
比喻：想像一座滑雪山。平緩的山坡斜率很小，而非常陡峭的山坡斜率很大。
- 正斜率：線從左到右向上傾斜。
- 負斜率：線從左到右向下傾斜。
- 零斜率：一條完全平坦的水平線。
- 無定義斜率：一條完全陡峭的鉛垂線。
斜率公式
斜率的公式通常被記為「上升量除以水平移動量」。
- 上升量 (Rise)：垂直方向的改變（y值）。
- 水平移動量 (Run)：水平方向的改變（x值）。
對於兩個點 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，斜率 'm' 是：
$$m = \frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$逐步示例
找出通過 A(2, 3) 和 B(6, 11) 的線的斜率。
- 標示你的點： $$x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = 6, y_2 = 11$$。
- 代入公式： $$m = \frac{11 - 3}{6 - 2}$$
- 計算分子和分母： $$m = \frac{8}{4}$$
- 化簡： $$m = 2$$。斜率是 2。
關於截距的註釋
截距是線與坐標軸相交的點。
- x截距是線與x軸相交的點。在此點，y值永遠是 0。
- y截距是線與y軸相交的點。在此點，x值永遠是 0。
重點提示
斜率 (m) 衡量線的陡峭程度。公式 $$m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)$$ 幫助你計算任意兩點之間的斜率。
5. 平行線與垂直線
斜率可以告訴我們兩條線之間的特殊關係。
平行線
平行線是永不相交的線。它們始終保持相同的距離。
比喻：想像火車軌道。它們永遠並排延伸，但永不相遇。
規則：兩條線平行，當且僅當它們具有完全相同的斜率。
$$m_1 = m_2$$例子：斜率為 3 的線與任何其他斜率為 3 的線平行。
垂直線
垂直線是相交並形成直角（90°）的線。
比喻：正方形的角，或牆壁與地板的交界處。
規則：如果兩條線的斜率互為負倒數，則它們垂直。這意味著你要將分數倒轉並改變符號。
一個更快的檢查方法是它們的斜率乘積是否為 -1。
$$m_1 \times m_2 = -1$$例子：如果一條線的斜率是 $$m_1 = \frac{2}{3}$$，那麼垂直線的斜率將是 $$m_2 = -\frac{3}{2}$$。檢查：$$(\frac{2}{3}) \times (-\frac{3}{2}) = -1$$。成功了！
重點提示
斜率可以告訴你線是平行（斜率相同）還是垂直（斜率相乘為 -1）。這是解決幾何問題的超級有用技巧！
6. 圖形樂趣！
計算多邊形的面積
如果你知道多邊形（如三角形或四邊形）的頂點坐標，你就可以計算它的面積。一個流行的方法是「鞋帶公式」。
逐步示例：鞋帶公式（用於三角形）
找出頂點為 A(2, 1)、B(8, 3) 和 C(4, 7) 的三角形面積。
- 依序寫出坐標（逆時針方向是最好的）。在底部重複第一個點。
(2, 1)
(8, 3)
(4, 7)
(2, 1) - 斜向向下相乘（並相加）： $$(2 \times 3) + (8 \times 7) + (4 \times 1) = 6 + 56 + 4 = 66$$
- 斜向向上相乘（並相加）： $$(1 \times 8) + (3 \times 4) + (7 \times 2) = 8 + 12 + 14 = 34$$
- 將兩組和相減： $$66 - 34 = 32$$
- 除以2：面積是 $$32 / 2 = 16$$ 平方單位。
利用坐標進行幾何證明
現在我們可以利用我們所有的工具（距離、中點、斜率）來證明有關形狀的結論了！
例子：證明頂點為 A(0,0)、B(4,2) 和 C(2,-4) 的三角形是直角三角形。
- 策略：如果它是直角三角形，那麼它的兩條邊必須互相垂直。我們來檢查斜率！
- AB的斜率： $$m_{AB} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
- BC的斜率： $$m_{BC} = \frac{-4 - 2}{2 - 4} = \frac{-6}{-2} = 3$$
- AC的斜率： $$m_{AC} = \frac{-4 - 0}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2$$
- 檢查垂直線：我們來將AB和AC的斜率相乘。 $$m_{AB} \times m_{AC} = (\frac{1}{2}) \times (-2) = -1$$。
- 結論：由於AB和AC斜率的乘積是 -1，這些線是互相垂直的，因此這個三角形在頂點 A 處是一個直角三角形。我們成功證明了！
重點提示
坐標幾何為我們提供了強大的工具，可以計算圖形的性質，並利用代數證明幾何事實。
7. 變換：移動點
變換是在坐標平面上移動或改變點或形狀的方法。
平移（滑動）
平移就是簡單的滑動。你將點水平移動一定距離，再垂直移動一定距離。
規則：要將點 (x, y) 水平平移 'a' 個單位，垂直平移 'b' 個單位，新的點是 (x + a, y + b)。
例子：將點 P(3, 4) 向右平移 5 個單位，向下平移 2 個單位。
新的x = 3 + 5 = 8
新的y = 4 + (-2) = 2
新的點是 P'(8, 2)。
反射（翻轉）
反射是將點沿著一條「鏡像線」翻轉。最常見的鏡像線是坐標軸。
- 沿x軸反射：x坐標保持不變，y坐標變號。(x, y) 變為 (x, -y)。
- 沿y軸反射：y坐標保持不變，x坐標變號。(x, y) 變為 (-x, y)。
例子：將點 (5, 2) 沿x軸反射得到 (5, -2)。將其沿y軸反射得到 (-5, 2)。
旋轉（轉動）
旋轉是將點繞著一個固定中心點轉動，通常是原點 (0, 0)。
以下是繞原點逆時針旋轉的規則：
- 旋轉 90°：(x, y) 變為 (-y, x)。
- 旋轉 180°：(x, y) 變為 (-x, -y)。
- 旋轉 270°（或順時針 90°）：(x, y) 變為 (y, -x)。
例子：將點 T(4, 1) 繞原點逆時針旋轉 90°。
根據規則，(x, y) 變為 (-y, x)。
所以，(4, 1) 變為 (-1, 4)。
重點提示
變換（平移、反射、旋轉）是坐標平面上移動點的特定規則。它們是電腦圖像和動畫的基礎！