學習筆記：因式分解
歡迎來到因式分解的世界！
哈囉！準備好學習代數中最實用的技巧之一：因式分解。
你可能會問：「『因式分解是什麼？』」你可以把它想像成做偵探一樣。當你將代數式 $$ 2(x + 5) $$ 展開，得到 $$ 2x + 10 $$ 時，你就像在混合材料烘焙蛋糕一樣。因式分解就是反向操作！你從完成的蛋糕（$$ 2x + 10 $$）開始，然後找出它原本的材料（$$ 2 $$ 和 $$ (x + 5) $$）。
它基本上就是把一個代數式「解開乘法」的過程。這項技巧超級重要，因為它幫助我們簡化複雜的代數式，並更容易地解方程。如果一開始聽起來有點複雜，別擔心——我們會一步一步拆解它！
什麼是因式分解？核心概念
展開的反向操作
你已經知道如何透過展開括號來展開代數式了。例如：
展開的例子：$$ 3x(x - 4) \rightarrow 3x^2 - 12x $$
因式分解做的是完全相反的事。它將結果變回它的「因式」（即那些被相乘的項目）。
因式分解的例子：$$ 3x^2 - 12x \rightarrow 3x(x - 4) $$
代數式 $$ 3x^2 - 12x $$ 被寫成它因式的積，這些因式就是 $$ 3x $$ 和 $$ (x - 4) $$。
重點提要
因式分解是將一個代數式寫成兩個或更多個較簡單的代數式（即其因式）的積的過程。
方法一：抽取公因式
找出最高公因式 (GCF)
這是你在任何因式分解題目中永遠應該首先考慮的事情。這通常是最簡單的第一步！公因式是一個數字或變數，它可以被代數式中的每一個項整除。我們需要找出最高公因式 (GCF)。
以下是詳細步驟：
1. 看看代數式中的所有項。
2. 找出可以整除所有係數（數字部分）的最大數字。
3. 尋找在所有項中都出現的變數。選取當中最低次方的那個。
4. 將這個GCF寫在新括號的外面。
5. 要找出括號裡面的內容，將每個原本的項除以GCF。
例題一：只有數字的公因式
因式分解 $$ 5x + 15 $$
1. 項是 $$ 5x $$ 和 $$ 15 $$。
2. 能同時整除 5 和 15 的最大數字是 5。
3. 變數 $$x$$ 只在第一項中出現，不在第二項，所以它不是公因式。
4. GCF 是 5。我們將它寫在括號外面：$$ 5( \quad ) $$
5. 將原始項除以 5：
$$ 5x \div 5 = x $$
$$ 15 \div 5 = 3 $$
所以，括號裡面就是 $$ x + 3 $$。
答案：$$ 5(x+3) $$
例題二：包含變數的公因式
因式分解 $$ 6a^2 + 9ab $$
1. 項是 $$ 6a^2 $$ 和 $$ 9ab $$。
2. 數字 6 和 9 的 GCF 是 3。
3. 變數 'a' 出現在兩項中。最低次方是 $$ a^1 $$（或直接寫 $$ a $$）。因此，'a' 是 GCF 的一部分。
4. GCF 是 3a。我們寫作：$$ 3a( \quad ) $$
5. 進行除法：
$$ 6a^2 \div 3a = 2a $$
$$ 9ab \div 3a = 3b $$
答案：$$ 3a(2a + 3b) $$
常見錯誤提示！
當某項與 GCF 完全相同時，別忘了「1」！
因式分解 $$ 7y + 7 $$。GCF 是 7。
正確：$$ 7(y+1) $$。(因為 $$ 7 \div 7 = 1 $$)
錯誤：$$ 7(y) $$
重點提要
永遠、永遠，永遠都要先找出公因式！這會讓接下來的每一步都變得更容易。
方法二：分組法因式分解
當沒有單一公因式時
如果你遇到一個有四項的代數式，而且這四項沒有共同的因式怎麼辦？別慌張！這時候可能就要使用分組法了。
做法（分工合作！）：
1. 將代數式分成兩組（兩對）。
2. 從第一組中抽取公因式。
3. 從第二組中抽取公因式。
4. 現在你應該會發現兩部分都出現了一個相同的括號。這個括號就是你的新公因式！
5. 抽取這個相同的括號。
逐步範例
因式分解 $$ xy + 2x + 3y + 6 $$
1. 這四項沒有共同的因式。所以，我們把它們分組：
$$ (xy + 2x) + (3y + 6) $$
2. 分解第一組。$$ (xy + 2x) $$ 中的公因式是 $$ x $$。
$$ x(y + 2) $$
3. 分解第二組。$$ (3y + 6) $$ 中的公因式是 $$ 3 $$。
$$ +3(y + 2) $$
4. 現在把它們組合起來：$$ x(y + 2) + 3(y + 2) $$。看！括號 $$ (y + 2) $$ 是一個公因式。
5. 抽取相同的括號 $$ (y+2) $$。剩下什麼？剩下『$$x$$』和『$$+3$$』。這些就組成了第二個括號。
答案：$$ (y+2)(x+3) $$
重點提要
如果你看到四個項，就想想使用分組法。目標是製造出一個相同的括號。
方法三：運用恆等式（超級捷徑！）
有些代數式會遵循一些特殊的模式，我們稱之為恆等式。如果你能認出這些模式，你就能在幾秒鐘內完成因式分解！
恆等式一：平方差 (DOTS)
尋找這個模式：（某項的平方）－（另一項的平方）。它必須有兩項，兩項之間必須是減號，而且兩項都必須是完全平方數。
公式是：$$ \mathbf{a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)} $$
例題
因式分解 $$ x^2 - 16 $$
1. 第一項是平方數嗎？是的，$$ x^2 $$ 就是 $$ (x)^2 $$。所以，$$ a = x $$。
2. 第二項是平方數嗎？是的，$$ 16 $$ 就是 $$ (4)^2 $$。所以，$$ b = 4 $$。
3. 有減號嗎？是的。
4. 這完全符合平方差的模式！只需將 $$ a $$ 和 $$ b $$ 代入公式 $$ (a - b)(a + b) $$。
答案：$$ (x - 4)(x + 4) $$
恆等式二：完全平方三項式
這些有三項（所以才稱為三項式）。尋找這兩個模式：
模式一：$$ \mathbf{a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2} $$
模式二：$$ \mathbf{a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2} $$
如何檢查是否為完全平方三項式：
1. 第一項是完全平方數嗎？如果是，找出『$$a$$』。
2. 最後一項是完全平方數嗎？如果是，找出『$$b$$』。
3. 中間項是否等於 $$ 2 \times a \times b $$（暫時忽略符號）？
4. 如果你對這三個問題都回答了『是』，那麼它就是一個完全平方數！括號中的符號將與中間項的符號相同。
例題
因式分解 $$ x^2 + 10x + 25 $$
1. 第一項是 $$ x^2 $$，即 $$ (x)^2 $$。所以，$$ a = x $$。
2. 最後一項是 $$ 25 $$，即 $$ (5)^2 $$。所以，$$ b = 5 $$。
3. 讓我們檢查中間項。它是不是 $$ 2ab $$？
$$ 2 \times x \times 5 = 10x $$。是的，符合！
4. 中間項帶有『+』號，所以我們使用 $$ (a+b)^2 $$ 公式。
答案：$$ (x + 5)^2 $$
重點提要
學會辨認這些恆等式就像擁有了超能力一樣。在三項式中，永遠要留意開頭和結尾的完全平方數；在兩項式中，則要留意是否為平方差。
方法四：十字交叉法
適用於形如 $$ ax^2 + bx + c $$ 的三項式
當一個三項式（3項）不是完全平方數時，十字交叉法就是你最好的朋友了。它是一種透過解決一個小謎題來找出兩個括號的方法。
逐步範例
因式分解 $$ x^2 + 7x + 12 $$
謎題：我們需要兩個數字，它們相乘得到尾項（+12），並且相加得到中間項的係數（+7）。
1. 畫一個十字。在左邊，寫下首項（$$x^2$$）的因數。通常就是 $$ x $$ 和 $$ x $$。
$$
\begin{matrix} x \\ & \Large{\times} \\ x \end{matrix}
$$
2. 列出尾項的因數。在右邊，我們需要一對數字，它們相乘得到 12。
12 的因數對：(1, 12), (2, 6), (3, 4)
3. 測試這些數對。我們將一對數字放在十字的右側，然後交叉相乘並將結果相加。我們的目標是得到中間項 $$ 7x $$。讓我們試試 (3, 4)。
$$
\begin{array}{ccc}
x & & +3 \\
& \Large{\times} & \\
x & & +4
\end{array}
$$
交叉相乘：$$ (x \times 4) = 4x $$ 和 $$ (x \times 3) = 3x $$。
將它們相加：$$ 4x + 3x = 7x $$。符合！
4. 寫下答案。水平地讀取，以得到你的括號。
上面一行是第一個括號：$$ (x + 3) $$
下面一行是第二個括號：$$ (x + 4) $$
答案：$$ (x+3)(x+4) $$
你知道嗎？
十字交叉法是一種直觀的方式，用來反轉你展開括號時使用的 FOIL 法則（First, Outer, Inner, Last，即「頭、外、內、尾」）。你計算的兩個交叉乘積，就是 FOIL 法則中的「外項相乘」和「內項相乘」部分！
重點提要
十字交叉法是因式分解三項式的可靠工具。關鍵在於不斷測試尾項的因數對，直到交叉乘積的和等於中間項。多加練習是掌握這項技巧的最佳方法！
章節總結及你的因式分解策略
成功清單
是不是覺得這麼多方法讓你有點不知所措？別擔心！每次你需要因式分解一個代數式時，只需遵循這個簡單的清單。
步驟一：先找公因式！
這個代數式有最高公因式嗎？如果有的話，立刻把它抽取出來。
步驟二：點算項數
抽取了 GCF 之後，括號裡面還剩下多少項？
- 如果有兩項，檢查它是否為平方差（$$a^2 - b^2$$）。
- 如果有三項，檢查它是否為完全平方三項式（$$a^2 \pm 2ab + b^2$$）。如果不是，請使用十字交叉法。
- 如果有四項，嘗試使用分組法因式分解。
步驟三：檢查你的答案
你總是可以透過展開最終答案來進行檢查。如果你能得到原始的代數式，你就知道自己做對了！
最後的鼓勵
做得好！你剛剛學會了因式分解的基礎。這是你在代數學習旅程中邁出的一大步。就像任何技能一樣，你越是練習這些方法，你就會變得越輕鬆、越快速。繼續努力吧！