課題：四邊形 — 探索四邊形圖形嘅奇妙世界！

喂，各位同學！歡迎嚟到四邊形嘅奇妙世界。呢個詞語聽落去可能好大、好花巧，但佢只係任何有四條邊嘅圖形嘅數學名稱。望吓你周圍！你部電話、一本書、一扇窗、一隻風箏——佢哋全部都係四邊形嚟㗎！

喺呢個課題入面，我哋會成為形狀偵探。我哋會探索一個特別嘅四邊形「家族」，學習佢哋隱藏嘅特性，甚至學識點樣去證明佢哋。就好似玩圖形拼圖咁！唔使擔心如果最初睇落去好似好難，我哋會一步步嚟拆解佢。咁我哋就開始啦！


1. 平行四邊形：家族嘅領袖！

想像吓平行四邊形係好多其他特別四邊形嘅「父母」。明白佢就係了解所有其他圖形嘅關鍵！

一個平行四邊形係一個四邊形，其中兩對對邊都互相平行。想像一個傾斜咗嘅長方形——佢就係一個平行四邊形！

例子：喺平行四邊形ABCD入面，邊AB平行於邊DC，而邊AD平行於邊BC。

平行四邊形嘅特性

每個平行四邊形都有三個一定係真嘅特別特性。佢哋就係你主要嘅偵探工具！

1. 對邊等長。
邊AB嘅長度同邊DC一樣。AD嘅長度同BC一樣。
$$AB = DC$$ and $$AD = BC$$

2. 對角相等。
角A同角C一樣大。角B同角D一樣大。
$$\angle A = \angle C$$ and $$\angle B = \angle D$$

3. 對角線互相平分。
一條對角線係連接對角嘅直線。平分意思係「將對方一分為二」。所以，喺一個平行四邊形入面，兩條對角線會喺佢哋精準嘅中點相交。
如果對角線AC同BD喺點E相交，咁AE = EC同BE = ED。

小貼士：平行四邊形

平行四邊形係一個有2對平行邊嘅4邊形。記住佢三個主要特性：
1. 對邊等長。
2. 對角相等。
3. 對角線互相平分。


2. 特別嘅「小朋友」：長方形、菱形同正方形

長方形、菱形同正方形都係特別類型嘅平行四邊形。呢個意思係佢哋唔單止有齊晒平行四邊形嘅三個特性，仲有自己額外嘅「超能力」！

長方形

一個長方形係一個有四個直角($$90^\circ$$)嘅平行四邊形。

特性：

  • (繼承自) 所有平行四邊形嘅特性。

  • 另外：所有四個角都係直角($$90^\circ$$)。

  • 另外：對角線等長。(AC = BD)

  • 因為對角線等長「而且」互相平分，佢哋會將對方切成四條相等嘅小線段。

現實世界例子：一扇門、書嘅封面、電視螢幕。

菱形

一個菱形係一個有四條等長邊嘅平行四邊形。想像佢係一個傾斜咗嘅正方形。

特性：

  • (繼承自) 所有平行四邊形嘅特性。

  • 另外：所有四條邊都等長。(AB = BC = CD = DA)

  • 另外：對角線互相垂直。(佢哋會以$$90^\circ$$角相交)。

  • 另外：對角線平分對角。(佢哋將角位完美地一分為二)。

現實世界例子：啤牌上面嘅菱形圖案、一啲風箏嘅設計。

正方形

一個正方形係家族中嘅超級巨星！佢同時係一個長方形同一個菱形。

特性：

正方形具備晒所有平行四邊形、長方形同菱形嘅特性！呢個令佢超級特別。

  • 對邊平行且等長。

  • 所有四條邊都等長。

  • 所有四個角都係$$90^\circ$$

  • 對角線等長。

  • 對角線互相平分。

  • 對角線互相垂直。

  • 對角線平分角位(每邊為$$45^\circ$$)。

常見錯誤提點！

菱形係咪正方形？唔係一定係！菱形有四條等長嘅邊，但佢嘅角可能唔係$$90^\circ$$。

正方形係咪菱形？係，一定係！正方形有四條等長嘅邊，呢個正正就係菱形嘅定義。

你可以咁樣諗：所有爹利犬都係狗，但唔係所有狗都係爹利犬。所有正方形都係菱形，但唔係所有菱形都係正方形。

小貼士：四邊形家族

平行四邊形係家族嘅姓氏。
- 長方形係一個有$$90^\circ$$角嘅平行四邊形。
- 菱形係一個有4條等長邊嘅平行四邊形。
- 正方形同時係長方形同菱形(佢有$$90^\circ$$角「同埋」4條等長邊)。


3. 點樣證明一個圖形係平行四邊形

有時，你將會得到一個圖形，然後要你證明佢係一個平行四邊形。你唔需要知道佢所有嘢！你只需要證明以下其中一個條件係真嘅就得。

平行四邊形嘅四個條件 (或檢測方法)：

如果你證明到其中一個，就已經證明咗個圖形係平行四邊形啦！

1. 兩對對邊等長。
如果你知道AB = DC同AD = BC，咁佢「一定」係平行四邊形。

2. 兩對對角相等。
如果你知道$$\angle A = \angle C$$同$$\angle B = \angle D$$，咁佢「一定」係平行四邊形。

3. 對角線互相平分。
如果你知道對角線互相平分，咁佢「一定」係平行四邊形。

4. 其中一對對邊既等長「又」互相平行。
呢個非常有用！如果你只係知道AB = DC「同埋」AB平行於DC，咁就夠啦！佢「一定」係平行四邊形。

小貼士：證明平行四邊形

要證明一個四邊形係平行四邊形，你唔需要展示佢所有特性。只需要證明四個條件中其中一個係真嘅就得。


4. 簡單嘅幾何證明

幾何證明只係一個邏輯論證，你一步步咁解釋一啲嘢，並用你已經知道嘅事實。將自己想像成一個喺法庭上面嘅律師，呈上證據(你嘅理由)嚟證明你嘅論點！

點樣寫一個簡單嘅證明

每個證明都有一個簡單嘅結構：

1. 已知：你已經有咩資料？(線索)
2. 證明：你想證明啲咩？(目標)
3. 證明：一系列嘅陳述同埋佢哋為乜係真嘅理由。每個陳述都需要理由！

證明例子

已知：ABCD係一個平行四邊形。
證明：三角形ABD全等於三角形CDB。
(記住，全等`$$\cong$$`意思係兩個三角形嘅大小同形狀都係一樣嘅)。

證明：

陳述

理由

1. $$AB = CD$$

(平行四邊形嘅對邊等長)

2. $$AD = CB$$

(平行四邊形嘅對邊等長)

3. $$DB = BD$$

(兩個三角形嘅公共邊)

4. 因此，$$\triangle ABD \cong \triangle CDB$$

(邊-邊-邊，或SSS全等條件)

睇吓？你只係用咗我哋之前學過嘅特性作為你嘅理由。證明就係一個個嘅謎題！你練得愈多，佢哋就會變得愈簡單。


5. 另外兩個超級有用嘅定理

呢兩個定理佢哋經常用於三角形同平行線，但其實同四邊形有非常密切嘅關係！

中點定理

呢個聽落去好複雜，但個概念好簡單！

佢講啲咩：喺任何三角形入面，如果你搵到其中兩條邊嘅中點，並用一條線連接佢哋，咁呢條新嘅線就係...
1. ...平行於第三條邊。
2. ...剛好係第三條邊長度嘅一半。

想像一個三角形ABC。如果D係AB嘅中點，E係AC嘅中點，咁線DE就會平行於BC，而DE嘅長度就會係BC長度嘅一半。

截線定理

呢個定理全部都係關於平行線嘅。

佢講啲咩：如果你有三條或更多平行線被一條截線(一條穿過佢哋嘅線)所截，並且喺呢條截線上被截出嚟嘅線段係相等嘅，咁喺任何其他截線上被截出嚟嘅線段都將會係相等嘅。

比喻：想像一條梯。梯級係互相平行嘅。如果垂直嘅側邊扶手喺每個梯級之間都標記住相等嘅1英尺線段，咁另一條垂直嘅側邊扶手亦都一定會有相等嘅1英尺線段喺每個梯級之間！

小貼士：特別定理

中點定理：連接三角形兩條邊嘅中點會產生一條線，呢條線平行於第三條邊，並且長度係第三條邊嘅一半。
截線定理：如果平行線喺一條截線上截出相等嘅線段，咁佢哋喺所有截線上都會截出相等嘅線段。


恭喜你！你已經學識晒成個平行四邊形家族同埋一啲好有用嘅定理啦。繼續練習辨認呢啲圖形同佢哋嘅特性，你好快就會成為幾何大師㗎啦！