掌握數學：你的公式學習指南！
各位同學大家好！歡迎來到本章公式的學習筆記。你可以把公式想像成數學裡的一個秘密符號或食譜，它是一個特別的規則，幫助我們快速又輕鬆地解決問題。在本章中，我們將會學習如何使用這些「食譜」、如何轉換它們來找出不同的「材料」，甚至是如何處理看起來像分數的公式。
這是一項在數學、科學，甚至在日常生活中都非常重要的技能，例如計算你的手機數據費用，或者估算旅程所需時間。所以，讓我們一起開始，解鎖公式的強大威力吧！
第一部分：透過代入法使用公式
使用公式最簡單的方法是透過代入法。這聽起來有點專業，但其實概念很簡單：就是把字母替換成數字。
什麼是代入法？
在公式中，字母（稱為變數）是用來代表可以變動的數值。代入法就是將這些字母替換成問題中給定的實際數字。
想像一下你在製作一杯沙冰。食譜上寫著：「將1根香蕉 (b) 和2個蘋果 (a) 攪拌。」如果你有香蕉和蘋果，你就直接把材料放進去！代入法也一樣——你只需要把數字放到字母所在的位置。
如何進行代入：逐步指南
- 寫下公式。這有助於你清楚地看到你需要什麼。
- 找出數值，即每個變數所代表的數字。
- 替換（代入）公式中的每個字母，將其替換為對應的數字。將數字放進括號 `()` 內是個好主意，這樣可以避免出錯。
- 計算答案。記住要遵循運算次序（BODMAS / PEMDAS）！
例一：找出花園的面積
讓我們來找出一個長度 (l) 為10米，闊度 (w) 為5米，長方形花園的面積 (A)。公式是：
$$ A = l \times w $$
步驟一：公式是 $$A = lw$$。（請記住，`lw` 即是 `l` 乘以 `w`。）
步驟二：我們已知 $$l = 10$$ 和 $$w = 5$$。
步驟三：將數字代入公式：$$A = (10) \times (5)$$。
步驟四：計算答案：$$A = 50$$。
所以，花園的面積是50平方米。很容易對不對？
例二：一個真實世界的公式——手機月費計劃
一個手機月費計劃的每月總費用 (C) 是$50，再加上每使用一吉字節（G）數據需付 $10。公式是：
$$ C = 50 + 10G $$
如果你這個月使用了7吉字節的數據，你的帳單是多少？
已知： $$G = 7$$
代入： $$C = 50 + 10(7)$$
計算： $$C = 50 + 70$$
$$ C = 120 $$
你的每月費用是$120。
常見錯誤要避免！
忘記運算次序！如果公式是 $$A = 2(l+w)$$，而且 $$l=5, w=3$$，你必須先處理括號內的運算！
正確： $$A = 2(5+3) = 2(8) = 16$$
錯誤： $$A = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13$$
第一部分的重點摘要
代入法就是「將數字填入」。寫下公式，用給定的數值替換字母，然後仔細計算答案。
第二部分：變換公式主項
有時，一個公式是用來找出某個特定數值，但我們可能需要找出其他東西。這時候就需要變換公式主項了。公式中的主項是指等號一邊獨立存在的變數。
想像一下：在公式 $$A = lw$$ 中，「A」是主角。但如果我們已經知道面積和闊度，卻想找出長度「l」呢？我們就需要讓「l」成為新的主角！
黃金法則：保持平衡！
方程式就像一個平衡的蹺蹺板。要保持平衡，你對一邊做了什麼，另一邊也必須做同樣的運算。
- 要移除一個被加上的數，在兩邊都減去它。
- 要移除一個被減去的數，在兩邊都加上它。
- 要移除一個被乘上的數，在兩邊都除以它。
- 要移除一個被除上的數，在兩邊都乘以它。
快速回顧：逆運算
逆運算是一組互相「抵消」的相反運算。
- 加法 (+) 抵消 減法 (-)
- 乘法 (×) 抵消 除法 (÷)
如何變換主項：逐步指南
- 找出新的主項——你想要單獨存在的那個字母。
- 看看有什麼是「黏」在它旁邊的（即同一邊的數字或字母）。
- 逐一撤銷運算，使用逆運算。記住，兩邊都要做！
- 繼續進行，直到你的新主項獨立存在。
例一：將「l」設為主項
讓我們再次使用面積公式：$$A = lw$$
我們想將 `l` 設為主項。
步驟一：新主項是 `l`。
步驟二：`l` 正在乘以 `w`。
步驟三：乘以 `w` 的逆運算是除以 `w`。讓我們在兩邊都除以 `w`。
$$ \frac{A}{w} = \frac{lw}{w} $$
右邊的 `w` 會被抵消。
$$ \frac{A}{w} = l $$
步驟四：`l` 現在就是主項了！我們可以寫成 $$ l = \frac{A}{w} $$。
例二：兩步驟的問題
一個來自物理學的著名速度公式是：$$v = u + at$$
讓我們將 `a` 設為主項。
目標：讓 `a` 單獨存在。
首先，`u` 被加在 `at` 上。讓我們先在兩邊都減去 `u` 來抵消加法。
$$ v - u = u + at - u $$
$$ v - u = at $$
現在，`a` 正在乘以 `t`。讓我們先在兩邊都除以 `t` 來抵消這個運算。
$$ \frac{v-u}{t} = \frac{at}{t} $$
$$ \frac{v-u}{t} = a $$
我們成功了！新公式是 $$ a = \frac{v-u}{t} $$。
第二部分的重點摘要
變換公式主項就是要將一個變數獨立出來。在方程式的兩邊使用逆運算，以「抵消」目標變數周圍的所有東西，直到它獨立存在。
第三部分：處理代數分數
別慌張！一個代數分數只是一個包含字母（變數）的分數。你學過的普通分數運算規則仍然適用。讓我們來複習一下。
如果一開始覺得有點困難，不用擔心。這就像玩遊戲進入新關卡一樣——需要一些練習！
乘法和除法（簡單的部分！）
乘法：只需將分子（上面的數）相乘，分母（下面的數）相乘。
例子： $$ \frac{a}{2} \times \frac{b}{3} = \frac{a \times b}{2 \times 3} = \frac{ab}{6} $$
除法：使用「保留、轉換、翻轉」的方法。保留第一個分數，將除號轉換為乘號，然後將第二個分數翻轉（取倒數）。
例子： $$ \frac{x}{5} \div \frac{y}{2} = \frac{x}{5} \times \frac{2}{y} = \frac{2x}{5y} $$
加法和減法（較難的部分！）
分數加減運算的第一條規則是：你必須有共同的分母！
一個共同分母是原始分母的公倍數。最好的選擇是使用最小公倍數（LCM）。
如何進行代數分數的加減：逐步指南
- 找出分母的最小公倍數（LCM）。這將會是你的新共同分母。對於變數，這通常只是將它們相乘。
- 重新寫出每個分數，使它們都具有新的共同分母。記住，分母乘以什麼，分子也要乘以什麼！
- 加或減分子（上面的數）。保持分母不變。
- 如果可以，簡化最終的分數。
例一：簡單加法
讓我們計算：$$ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} $$
步驟一：分母是 `x` 和 `y`。最小公倍數就是 `xy`。
步驟二：
- 對於第一個分數（$$\frac{3}{x}$$），我們將分母 (`x`) 乘以 `y`。所以我們也必須將分子乘以 `y`： $$ \frac{3 \times y}{x \times y} = \frac{3y}{xy} $$
- 對於第二個分數（$$\frac{4}{y}$$），我們將分母 (`y`) 乘以 `x`。所以我們也必須將分子乘以 `x`： $$ \frac{4 \times x}{y \times x} = \frac{4x}{xy} $$
步驟三：現在將分子相加：
$$ \frac{3y}{xy} + \frac{4x}{xy} = \frac{3y + 4x}{xy} $$
步驟四：我們無法再進一步簡化這個分數。這就是我們的最終答案！
例二：涉及線性因數的減法
讓我們計算：$$ \frac{5}{x+1} - \frac{2}{x+2} $$
步驟一：分母是 `(x+1)` 和 `(x+2)`。它們不同，所以最小公倍數就是它們的積：`(x+1)(x+2)`。
步驟二：重寫這些分數：
$$ \frac{5(x+2)}{(x+1)(x+2)} - \frac{2(x+1)}{(x+1)(x+2)} $$
步驟三：減去分子。對待括號要非常小心！
$$ \frac{5(x+2) - 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} $$
現在，展開分子上的括號：
$$ \frac{5x + 10 - 2x - 2}{(x+1)(x+2)} $$
合併分子上的同類項：
$$ \frac{3x + 8}{(x+1)(x+2)} $$
步驟四：這就是最終簡化的答案。
常見錯誤要避免！
- 非法約簡：你不能約簡加法或減法中的部分。例如，在 $$ \frac{x+5}{x} $$ 中，你不能約簡 `x`！
- 忘記括號：進行減法時，總要把第二個分子放進括號內，就像我們的例子那樣：$$... - 2(x+1)$$。這有助於你記住要減去整個部分。
你知道嗎？
「公式」(formula) 這個詞源自拉丁文，意思是「一個小模式或規則」。一些最著名的公式，例如用於三角形的畢氏定理（$$a^2 + b^2 = c^2$$），已經使用了數千年！
第三部分的重點摘要
代數分數遵循與數字分數相同的規則。對於加法和減法，黃金法則是在你做任何其他事情之前，先找到一個共同分母！