歡迎進入「全等」和「相似」嘅世界！
各位同學好！準備好探索幾何學中最精彩嘅部分之一未呀？喺呢個章節，我哋會學習全等同相似。你可以咁樣諗：全等嘅圖形就好似一模一樣嘅雙胞胎，而相似嘅圖形就似係一個縮小模型同真實物件。
點解呢啲概念咁重要？因為佢哋無處不在！建築師會用相似性嚟畫大型建築物嘅藍圖，藝術家會用佢嚟創造逼真嘅透視效果，甚至你部電話都會用呢啲概念嚟調整相片大細。所以，等我哋一齊潛入幾何世界，做個幾何神探啦！
第一部分：全等——一模一樣嘅雙胞胎
「全等」係咩意思？
簡單嚟講，全等圖形就係指形狀同大細完全一樣嘅圖形。如果你可以將其中一個剪出嚟，然後完美咁疊喺另一個上面，佢哋就會完全重疊。佢哋係完美嘅複製！
全等嘅符號係 $$ \cong $$。所以，如果三角形ABC全等於三角形XYZ，我哋會咁寫：$$ \triangle ABC \cong \triangle XYZ $$。
當兩個三角形全等時，佢哋嘅意思係：
- 所有對應角都相等。(例如：$$ \angle A = \angle X $$、$$ \angle B = \angle Y $$、$$ \angle C = \angle Z $$)
- 所有對應邊都長度相等。(例如：$$ AB = XY $$、$$ BC = YZ $$、$$ AC = XZ $$)
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全等 = 相同形狀 + 相同大細
想像一下：影印機設定為100%大細嘅影印本。
符號： $$ \cong $$
全等三角形嘅條件
我哋需要檢查齊晒三個邊同三個角，先可以知道兩個三角形係咪全等㗎？好消息係——唔使！我哋有啲聰明嘅捷徑。佢哋就係全等嘅條件。你總共需要認識五個條件。一開始見到咁多唔使擔心，我哋會逐一詳細講解。
1. SSS (邊-邊-邊)
如果一個三角形嘅三條邊分別等於另一個三角形嘅三條對應邊，咁呢兩個三角形就係全等。
例子：想像三角形1嘅邊長係3cm、4cm同5cm。如果三角形2嘅邊長都係3cm、4cm同5cm，咁佢哋就係全等㗎喇！(原因：SSS)
2. SAS (邊-角-邊)
如果一個三角形嘅兩條邊同佢哋嘅夾角（即係嗰兩條邊之間嘅角）分別等於另一個三角形嘅對應兩條邊同夾角，咁呢兩個三角形就係全等。
重要提示！嗰個角必須喺你用嘅兩條邊之間。就好似俾兩條邊「夾住」咁。
例子：三角形1有一條5cm嘅邊，然後一個30°嘅角，再一條7cm嘅邊。如果三角形2都有同樣嘅模式（5cm邊、30°夾角、7cm邊），佢哋就係全等。(原因：SAS)
常犯錯誤警示！請確保嗰個角係兩條邊之間嘅夾角。如果唔係，你就唔可以用SAS喇！
3. ASA (角-邊-角)
如果一個三角形嘅兩個角同佢哋嘅夾邊（即係嗰兩個角之間嘅邊）分別等於另一個三角形嘅對應兩個角同夾邊，咁呢兩個三角形就係全等。
例子：三角形1有一個40°嘅角，然後一條8cm嘅夾邊，再一個60°嘅角。如果三角形2都符合呢個模式（40°角、8cm夾邊、60°角），佢哋就係全等。(原因：ASA)
4. AAS (角-角-邊)
如果一個三角形嘅兩個角同佢哋嘅非夾邊分別等於另一個三角形嘅對應兩個角同非夾邊，咁呢兩個三角形就係全等。
例子：三角形1有一個50°嘅角，然後一個70°嘅角，而對住70°角嘅邊係6cm。如果三角形2都符合呢個模式，佢哋就係全等。(原因：AAS)
記憶小貼士：對於ASA同AAS，你只需要任何兩個角同任何一條對應邊相等就得啦！
5. RHS (直角-斜邊-邊)
呢個係一個特別嘅條件，只適用於直角三角形。如果一個直角三角形嘅斜邊（最長嘅邊，對住直角嘅邊）同另一條邊，分別等於另一個直角三角形嘅斜邊同對應邊，咁佢哋就係全等。
- R 代表直角（兩個三角形都必須有一個90°角）。
- H 代表斜邊（兩條斜邊必須相等）。
- S 代表邊（另一對對應邊必須相等）。
例子：兩個直角三角形都有一條10cm嘅斜邊同另一條6cm嘅邊。佢哋一定係全等。(原因：RHS)
關於等腰三角形嘅小提示
全等嘅概念可以幫助我哋理解其他圖形，例如等腰三角形（兩條邊相等嘅三角形）。
- 性質：如果一個三角形係等腰三角形，咁對住嗰兩條相等邊嘅角（即係底角）都會相等。(原因：等腰三角形底角)
- 條件：如果一個三角形有兩個相等嘅角，咁對住嗰兩個角嘅邊就會相等，而呢個三角形就係等腰三角形。(原因：等角對邊)
你知唔知道？我哋其實可以用SAS全等條件去證明等腰三角形嘅性質㗎！數學世界真係環環相扣。
全等嘅重點提示
全等三角形係一模一樣嘅複製。要證明佢哋全等，你唔需要六項資料（三條邊、三個角）都用齊。你只需要符合五個條件其中一個就得喇：SSS、SAS、ASA、AAS、或者RHS（RHS只適用於直角三角形）。
第二部分：相似——比例模型
「相似」係咩意思？
相似圖形係指形狀相同但大細可以唔同嘅圖形。想像吓你電話入面嘅相片。當你放大或縮小嗰陣，相片會變大或變細，但相入面所有嘢嘅形狀都保持不變。呢個就係相似性！
相似嘅符號係 $$ \sim $$。所以，如果三角形ABC相似於三角形XYZ，我哋會咁寫：$$ \triangle ABC \sim \triangle XYZ $$。
要兩個三角形相似，有兩樣嘢必須符合：
- 所有對應角都相等。(呢個令佢哋形狀相同。)
- 所有對應邊都係相同比例（即係佢哋成比例）。
例子：如果 $$ \triangle ABC \sim \triangle XYZ $$，即係話 $$ \angle A = \angle X $$、$$ \angle B = \angle Y $$、$$ \angle C = \angle Z $$，而且邊長成比例：
$$ \frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ} $$快速溫習小錦囊
相似 = 相同形狀，大細唔同都OK！
想像一下：調整相片大細，或者睇地圖。
符號： $$ \sim $$
相似三角形嘅條件
同全等一樣，我哋都有啲捷徑去證明三角形係相似。主要有三個。
1. AA (或 AAA) (角-角-角)
如果一個三角形嘅兩個角分別等於另一個三角形嘅兩個對應角，咁呢兩個三角形就係相似。我哋只需要檢查兩個角就得，因為如果兩個角都一樣，第三個角就一定會一樣（因為三角形嘅內角和係180°）！
例子：三角形1有50°同80°嘅角。三角形2都有50°同80°嘅角。佢哋一定係相似㗎喇！(原因：AA)
2. 3邊成比例 (或 相似三角形SSS)
如果所有三對對應邊嘅比例都相等，咁呢兩個三角形就係相似。
點樣檢查：
步驟1：將兩個三角形嘅最短邊、中等長度邊同最長邊分別配對。
步驟2：將較大三角形每條邊嘅長度除以佢喺較小三角形嘅對應邊。
步驟3：如果你得到相同嘅數值（相同嘅比例）對於所有三對邊，咁佢哋就係相似㗎喇！
例子：三角形1嘅邊長係3、4、5。三角形2嘅邊長係6、8、10。
等我哋檢查吓比例：$$ \frac{6}{3} = 2 $$、$$ \frac{8}{4} = 2 $$、$$ \frac{10}{5} = 2 $$。因為所有比例都一樣（都係2），所以呢兩個三角形係相似。(原因：3邊成比例)
3. 兩邊成比例及夾角相等 (或 相似三角形SAS)
如果兩對對應邊嘅比例相等，而且佢哋嘅夾角亦相等，咁呢兩個三角形就係相似。
例子：三角形1有兩條邊長係4同6，佢哋之間嘅夾角係30°。三角形2有兩條邊長係8同12，佢哋之間嘅夾角都係30°。夾角相等（都係30°）。等我哋檢查吓邊嘅比例：$$ \frac{8}{4} = 2 $$ 同 $$ \frac{12}{6} = 2 $$。比例相等，所以呢兩個三角形係相似。(原因：兩邊成比例及夾角相等)
相似嘅重點提示
相似三角形形狀相同但大細可以唔同。佢哋嘅角相等，而邊長成比例。證明相似嘅三個捷徑係：AA、3邊成比例同兩邊成比例及夾角相等。
第三部分：相似圖形中嘅比例 (長度、面積同體積)
呢個係相似性中一個超級實用嘅部分，佢唔單止幫我哋比較長度，仲可以比較相似嘅二維同三維圖形嘅面積同體積！
假設我哋有兩個相似圖形，佢哋對應長度（例如邊長、高或半徑）嘅比例係 $$ k $$。
$$ \text{長度比} = \frac{\text{長度}_1}{\text{長度}_2} = k $$咁佢哋嘅面積比同體積比就有一個特殊嘅關係：
- 佢哋嘅面積比會係 $$ k^2 $$。
- 佢哋嘅體積比（適用於三維圖形）會係 $$ k^3 $$。
等我哋睇吓點樣實際應用！
想像兩個相似嘅立方體。立方體A嘅邊長係2 cm。立方體B嘅邊長係6 cm。
步驟1：找出長度比 (k)。
邊長比 = $$ \frac{\text{立方體B嘅邊長}}{\text{立方體A嘅邊長}} = \frac{6}{2} = 3 $$。所以，$$ k=3 $$。
步驟2：找出佢哋嘅表面面積比。
面積比 = $$ k^2 = 3^2 = 9 $$。
呢個意思係，立方體B嘅表面面積比立方體A大9倍！
步驟3：找出佢哋嘅體積比。
體積比 = $$ k^3 = 3^3 = 27 $$。
呢個意思係，立方體B嘅體積比立方體A大27倍！嘩！
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如果長度比 = $$ k $$，咁：
- 面積比 = $$ k^2 $$
- 體積比 = $$ k^3 $$
呢個係一個強大嘅捷徑，可以幫助你解決問題而唔需要計算實際嘅面積或體積！
你知唔知道？呢個就係點解一個細批薩同一個大批薩嘅價錢會有咁大分別嘅原因。如果大批薩嘅直徑係細批薩嘅兩倍（長度比k=2），咁佢嘅面積就應該係四倍 ($$k^2=4$$)！