第十四章：不等式 — 不只於相等！
各位同學大家好！有沒有覺得，人生有時並不是事事都完美相等？有時候，你要「至少」考到某個分數才合格，又或者你「最多」只能花某個數目的錢。這就是不等式的用武之地了！它們是一種超實用的方法，用來表示那些不相等的值。
在這一章裡，我們會探索不等式的世界。你會學到：
• 不同不等式符號的意思。
• 如何在數線上表示不等式。
• 解不等式的特別規則（當中有一條比較 tricky，要小心留意呀！）。
• 如何利用不等式來解決現實生活中的問題。
就算這些概念對你來說很陌生，也別擔心。我們會一步一步拆解它們。我們開始吧！
什麼是不等式？
在數學中，**方程**是用等號 ($$=$$) 來表示兩個事物相等的陳述。而**不等式**則是表示兩個事物*不*相等的陳述。它告訴我們兩者之間的關係，例如一個比另一個大、小，又或者大於或等於、小於或等於另一個。
你需要認識的四個符號
不等式中主要會用到四個符號：
• >：這代表「大於」。例如，$$5 > 2$$ 表示 5 大於 2。
• <：這代表「小於」。例如，$$3 < 8$$ 表示 3 小於 8。
• ≥：這代表「大於或等於」。例如，$$x ≥ 4$$ 表示 x 可以是 4，或者任何比 4 大的數。
• ≤：這代表「小於或等於」。例如，$$y ≤ 10$$ 表示 y 可以是 10，或者任何比 10 小的數。
記憶小秘訣：鱷魚嘴巴法！
記住「>」和「<」符號的一個有趣方法，就是把它們想像成鱷魚的嘴巴。鱷魚總是肚子餓，想吃掉比較大的數字！
例子：在 $$10 > 1$$ 中，鱷魚的嘴巴是朝向 10 張開的。
把文字轉換成數學式
我們經常使用不等式來描述各種情況。以下是一些常用短語的轉換方法：
• 「多於」或「大於」使用 > 符號。
「學生人數 (s) 多於 30 人」寫成 $$s > 30$$。
• 「少於」或「小於」使用 < 符號。
「氣溫 (t) 少於 0 度」寫成 $$t < 0$$。
• 「至少」或「不小於」使用 ≥ 符號。
「你必須至少 12 歲 (a) 才能看這部電影」寫成 $$a ≥ 12$$。
• 「最多」或「不大於」使用 ≤ 符號。
「這個袋子最多可裝 5 公斤 (w)」寫成 $$w ≤ 5$$。
重點摘要
不等式幫助我們比較不相等的數量。四個符號分別是 >、<、≥ 和 ≤。它們可以描述許多現實世界中的限制和條件。
在數線上表示不等式
數線是一種很棒的方法，可以讓你一眼看到不等式的所有可能答案。它為我們提供了答案的視覺圖像。
在數線上繪畫不等式有兩條簡單規則。
規則一：圓圈
• 對於 >（大於）和 <（小於）使用空心圓（○）。這表示該數字本身*不*包含在解中。
• 對於 ≥（大於或等於）和 ≤（小於或等於）使用實心圓（●）。這表示該數字本身*包含*在解中。
小貼士：如果符號下方有一條小橫線（≥ 或 ≤），你就把圓圈填滿！
規則二：箭頭
箭頭指向所有其他包含在解中的數字的方向。
• 對於 > 和 ≥，箭頭指向右邊（朝向較大的數字）。
• 對於 < 和 ≤，箭頭指向左邊（朝向較小的數字）。
讓我們看一些例子！
1. 表示 $$x > 1$$
• 我們需要在 1 的位置畫一個空心圓（因為它不是「或等於」）。
• 箭頭指向右邊，因為我們需要所有大於 1 的數字。
2. 表示 $$x ≤ -2$$
• 我們需要在 -2 的位置畫一個實心圓（因為它是「或等於」）。
• 箭頭指向左邊，因為我們需要所有小於或等於 -2 的數字。
3. 表示 $$x < 4$$
• 我們需要在 4 的位置畫一個空心圓。
• 箭頭指向左邊。
4. 表示 $$x ≥ 0$$
• 我們需要在 0 的位置畫一個實心圓。
• 箭頭指向右邊。
解不等式的規則
好消息！解不等式幾乎和解方程一模一樣。你可以透過加、減、乘、除，將變量獨立出來。然而，有一條非常重要的規則你必須記住。
簡單規則（就像解方程一樣！）
1. 加法和減法：你可以在不等式的兩邊同時加上或減去相同的數字，不等式保持不變。
如果 $$a > b$$，那麼 $$a + c > b + c$$。
2. 乘法和除法（與正數）：你可以將不等式的兩邊同時乘以或除以相同的正數，不等式保持不變。
如果 $$a > b$$ 且 c 為正數，那麼 $$ac > bc$$。
最重要規則！（危險區）
當你將不等式的兩邊乘以或除以一個負數時，你必須將不等號的方向顛倒過來。
為什麼呢？讓我們用數字來看看。
我們都同意 $$4 > 2$$。這是正確的。
但如果我們將兩邊都乘以 -1 會怎樣？
$$4 \times (-1) = -4$$
$$2 \times (-1) = -2$$
-4 大於 -2 嗎？不！在數線上，-4 在 -2 的左邊，所以它更小。
所以，我們必須把不等號顛倒過來：$$-4 < -2$$。
記住：乘以或除以負數？顛倒不等號！
• > 變成 <
• < 變成 >
• ≥ 變成 ≤
• ≤ 變成 ≥
重點摘要
解不等式就像解方程一樣，但如果你乘以或除以負數，你必須反轉不等號。這是最大的不同，也是最常犯錯的地方，所以務必小心！
綜合應用：解線性不等式
讓我們一步一步地練習解一些不等式。我們的目標和解方程一樣：將變量（例如 'x'）單獨放在一邊。
分步指南
1. 使用加法或減法將數字項移到一邊，變量項移到另一邊。
2. 使用乘法或除法來求解變量。
3. 黃金規則檢查：你剛才是否乘以或除以負數？如果是，請反轉不等號！
4. 得到解後，你可以在數線上表示它。
例子一：一個簡單的例子
解 $$x + 5 < 12$$
1. 我們想讓 'x' 獨立。讓我們從兩邊減去 5。
$$x + 5 - 5 < 12 - 5$$
$$x < 7$$
2. 我們有沒有乘以或除以負數？沒有。所以不等號保持不變。
3. 答案： $$x < 7$$。
4. 在數線上表示： 在 7 的位置畫一個空心圓，箭頭指向左邊。
例子二：一個兩步的問題
解 $$3y - 4 ≥ 11$$
1. 首先，在兩邊加上 4，以移動數字項。
$$3y - 4 + 4 ≥ 11 + 4$$
$$3y ≥ 15$$
2. 現在，除以 3 以使 'y' 獨立。
$$\frac{3y}{3} ≥ \frac{15}{3}$$
$$y ≥ 5$$
3. 我們有沒有除以負數？沒有，我們除以了正數 3。不等號保持不變。
4. 答案： $$y ≥ 5$$。
5. 在數線上表示： 在 5 的位置畫一個實心圓，箭頭指向右邊。
例子三：不等號反轉的實際應用！
解 $$-2x - 1 > 9$$
1. 首先，在兩邊加上 1。
$$-2x - 1 + 1 > 9 + 1$$
$$-2x > 10$$
2. 現在，我們需要除以 -2 以使 'x' 獨立。小心！我們正在除以一個負數！
$$\frac{-2x}{-2} ? \frac{10}{-2}$$
3. 因為我們除以了 -2，我們必須反轉不等號。`>` 變成 `<`。
$$x < -5$$
4. 答案： $$x < -5$$。
5. 在數線上表示： 在 -5 的位置畫一個空心圓，箭頭指向左邊。
不等式在現實世界中的應用
學習這部分的最好處，就是你可以將它應用到解決現實生活中的問題！
如何應對文字應用題
1. 閱讀並理解：弄清楚問題在問什麼。
2. 定義變量：選擇一個字母（例如 'x'）來表示未知數。
3. 寫出不等式：將問題中的文字和短語轉換成數學不等式。
4. 求解：使用我們剛學過的規則來解不等式。
5. 回答問題：用一個在問題語境中有意義的句子來寫出你的答案。
應用題例子一：演唱會門票
Leo 想買演唱會門票，每張 40 元。他總共有 250 元可以花費。他最多可以買多少張門票？
1. 變量：設 $$t$$ 為 Leo 可以購買的門票數量。
2. 不等式：總費用 ($$40t$$) 必須小於或等於他擁有的錢 ($$250$$)。
$$40t ≤ 250$$
3. 求解：兩邊都除以 40（一個正數，所以不等號不反轉）。
$$\frac{40t}{40} ≤ \frac{250}{40}$$
$$t ≤ 6.25$$
4. 答案：由於 Leo 不能購買零碎的門票，所以他最多可以購買 6 張。「Leo 最多可以購買 6 張門票。」
應用題例子二：通過課程
為了通過她的數學課程，Maria 需要在兩次考試中總共獲得至少 160 分。她在第一次考試中得了 70 分。她在第二次考試中需要至少多少分？
1. 變量：設 $$s$$ 為她在第二次考試中的分數。
2. 不等式：她的第一次考試分數 (70) 加上她的第二次考試分數 ($$s$$) 必須「至少」是 160 分。這表示大於或等於。
$$70 + s ≥ 160$$
3. 求解：兩邊都減去 70。
$$70 - 70 + s ≥ 160 - 70$$
$$s ≥ 90$$
4. 答案：「Maria 在第二次考試中需要至少 90 分才能通過該課程。」