三角學的應用：你的實用解難指南！
各位同學，你好！你有沒有想過，人們怎樣在沒有超長捲尺的情況下，測量摩天大廈的高度？又或者，船隻如何在浩瀚的大海中航行？箇中秘密就是三角學！
在這一章，我們會把你們對正弦、餘弦和正切的知識，從課本帶到現實世界。你會學到如何運用三角形的力量，找出高度、距離和方向。這就像擁有了數學的超能力，能測量你遙不可及的事物。我們開始吧！
極速重溫：還記得SOH CAH TOA嗎？
在我們深入探討這些有趣的應用之前，讓我們先快速重溫一下基礎知識吧。我們在這裡所學的一切，都將建基於直角三角形。
標示三角形的邊
在任何直角三角形中，對於一個給定的角（我們稱它為θ）：
- 斜邊 (H) 永遠是直角對面的最長邊。
- 對邊 (O) 是與角θ直接相對的邊。
- 鄰邊 (A) 是與角θ相鄰的邊（但不是斜邊）。
神奇口訣：SOH CAH TOA
這是記住三個主要三角比的最佳助記口訣：
SOH：正弦 (Sine) = 對邊 / 斜邊 $$ \sin(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}} $$
CAH：餘弦 (Cosine) = 鄰邊 / 斜邊 $$ \cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}} $$
TOA：正切 (Tangent) = 對邊 / 鄰邊 $$ \tan(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}} $$
重點提示
SOH CAH TOA是你在三角學中最好的朋友。它會告訴你根據已知邊和想找的邊，應使用哪條公式。
應用三角學解平面圖形問題 (2D形狀)
我們將從這裡開始，運用三角學來找出日常生活中缺失的長度和角度。就算起初覺得有點困難也別擔心，我們幾乎可以透過簡單的逐步解題方法，解決任何問題。
你的5步成功指南：
- 繪畫圖形： 將文字問題轉化為一個簡單的直角三角形。
- 標示邊： 根據問題中的角度，識別斜邊、對邊和鄰邊。
- 選擇三角比： 看看你已知甚麼，需要找出甚麼。運用SOH CAH TOA來選擇正確的公式。
- 列寫方程： 將問題中的數字填入公式。
- 解題： 使用計算機找出答案！
例子一：找出未知邊
一條10米長的梯子靠在一幅牆上，與地面形成60°角。梯子能達到牆壁多高？
1. 繪畫： 畫一個以梯子為斜邊的三角形。
2. 標示：
- 角度是60°。
- 梯子是斜邊 (H) = 10 米。
- 牆上的高度是角度的對邊 (O) = ? （我們稱它為h）。
3. 選擇： 我們有對邊 (O) 和斜邊 (H)，所以我們使用SOH（正弦）。
4. 列寫： $$ \sin(60^\circ) = \frac{h}{10} $$
5. 解題： $$ h = 10 \times \sin(60^\circ) $$
$$ h \approx 8.66 \text{ m} $$
所以，梯子大約能達到牆上8.66米高！
例子二：找出未知角度
你站在離樹底20米遠的地方。樹的高度是30米。你需要以甚麼角度向上望才能看到樹頂？
1. 繪畫： 畫一個包含你、樹底和樹頂的三角形。
2. 標示：
- 樹的高度是對邊 (O) = 30 米。
- 離樹的距離是鄰邊 (A) = 20 米。
- 我們需要找出角θ。
3. 選擇： 我們有對邊 (O) 和鄰邊 (A)，所以我們使用TOA（正切）。
4. 列寫： $$ \tan(\theta) = \frac{30}{20} = 1.5 $$
5. 解題： 要找出角度，我們使用計算機上的反切線按鈕 (tan⁻¹)。
$$ \theta = \tan^{-1}(1.5) $$
$$ \theta \approx 56.3^\circ $$
所以，你需要以大約56.3度角向上望。
重點提示
要解決任何直角三角形問題，只需遵循這5個步驟：繪圖、標示、選擇、列式、解題！
向上看與向下看：仰角與俯角
這些是我們向上或向下看物體時使用的特殊角度名稱。它們對於計算高度和距離非常有用。
仰角
這是你從一條水平線向上看的角度。
助記法： 想想「升降機」(Elevator) 是向上「升」的。
例子：想像你站在地面上，向上看著建築物的頂部。你的視線與平坦地面所形成的角度就是仰角。
俯角
這是你從一條水平線向下看的角度。
助記法： 感到「低落」(Depressed) 會讓你覺得「向下」。
例子：你站在懸崖頂部，向下看海中的一艘船。你的視線從水平線向下到船隻所形成的角度就是俯角。
常見錯誤要避免！
俯角是從三角形外部的水平線量度的。但是，基於幾何學原理（還記得錯角「Z」形嗎？），從頂部量度的俯角總是等於從底部量度的仰角。這是一個非常有用的技巧！
重點提示
仰角是從水平線向上看。俯角是從水平線向下看。兩者都是從一條平坦的水平線量度的。
有多斜？斜率
斜率是一個簡單的數字，告訴我們某物有多斜，例如一座山或一個斜坡。它通常被描述為「鉛垂高除以水平距」。
$$ \text{斜率} = \frac{\text{鉛垂高}}{\text{水平距}} $$
與三角學的關聯
看看斜率的公式。在一個直角三角形中，「鉛垂高」就是對邊，而「水平距」就是鄰邊。哪個三角比是 對邊/鄰邊 呢？就是正切！
這給了我們一個超級重要的公式：
$$ \text{斜率} = \tan(\theta) $$
這裡，θ 被稱為傾斜角。它是斜坡與水平線所形成的角度。
例子：
一個輪椅坡道，其斜率為1/12。它的傾斜角是多少？
我們知道： $$ \tan(\theta) = \text{斜率} $$
$$ \tan(\theta) = \frac{1}{12} $$
$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{12}\right) $$
$$ \theta \approx 4.76^\circ $$
這個坡道有著約4.76度的緩坡。
你知道嗎？
工程師經常使用斜率來設計對汽車安全的道路，以及能讓雨水正確排走的屋頂。
重點提示
斜率量度陡峭程度，並等於傾斜角的正切。如果你知道其中一個，你總能找到另一個！
辨別方向：方位角
方位角是飛行員和水手在導航中用來描述精確方向的方式。我們將學習兩種。
類型一：三位數方位角（或真方位角）
這種類型有三個簡單規則：
- 永遠從正北量度。
- 永遠沿順時針方向量度。
- 永遠使用三位數字寫出你的答案。（例如，50°寫成050°）。
例子：方位角135°表示你從正北方向開始，然後順時針轉動135°。
類型二：羅盤方位角
這種類型使用東南西北方向。
- 你先面向北 (N) 或南 (S)。
- 然後，你向東 (E) 或西 (W) 轉動某個角度。
例子：方位角N40°E表示「從正北方向開始，然後向東轉40°」。
例子：方位角S20°W表示「從正南方向開始，然後向西轉20°」。
例子問題：
一艘船從港口以060°方位角航行15公里。這艘船在港口以北多遠？
1. 繪畫： 畫一條指北線。量度順時針60°。畫一條長15公里的線。通過畫一條線回到南北線，構成一個直角三角形。
2. 標示： 我們的三角形中，在港口的角度是60°。斜邊是15公里。「在港口以北多遠」是鄰邊 (A)。
3. 選擇： 我們有鄰邊 (A) 和斜邊 (H)，所以我們使用CAH（餘弦）。
4. 列寫： $$ \cos(60^\circ) = \frac{\text{Adjacent}}{15} $$
5. 解題： $$ \text{Adjacent} = 15 \times \cos(60^\circ) = 7.5 \text{ km} $$
這艘船在港口以北7.5公里處。
重點提示
方位角告訴我們方向。記住這些規則：
- 真方位角： 從正北，順時針，三位數。
- 羅盤方位角： 從北或南，轉向東或西。