歡迎來到三角學的世界！

各位同學！準備好深入學習數學中最實用的部分之一：三角學了嗎？這個名字可能聽起來有點複雜，但不用擔心！「三角學」其實就是「三角形量度」的意思。

在本章中，你將學習如何在不直接測量的情況下，找出三角形中缺失的邊長和角度。這就像擁有數學超能力一樣！三角學在現實生活中有很多應用，例如興建摩天大廈、設計電子遊戲、導航船隻，甚至製作動畫電影。那麼，我們就立即開始吧！


第一節：直角三角形——我們的超級英雄！

三角學從一種特殊的三角形開始：直角三角形。任何有一個角恰好是90度（一個直角）的三角形，都叫做直角三角形。

標示邊長

在我們進行任何運算之前，需要為三角形的邊賦予特殊的名稱。這些名稱會根據我們所關注的角度而改變。我們將我們重點研究的角稱為 theta ($$\theta$$)，這只是一個希臘字母，我們常用它來表示未知角度。

快速重溫：三條邊
  • 斜邊 (H)：這條邊最容易辨認。它永遠是最長的邊，而且永遠在直角的對面。把它想像成三角形的「大佬」一樣。
  • 對邊 (O)：這條邊位於我們重點研究的角 ($$\theta$$) 的正對面。如果你「站在」角 $$\theta$$ 的位置，這條邊就在你對面。
  • 鄰邊 (A)：這個詞的意思是「旁邊的」。這條邊位於我們重點研究的角 ($$\theta$$) 的旁邊，但不是斜邊。

例子：想像你站在角A的位置。邊BC是你的「對邊」。邊AB是你的「鄰邊」。AC永遠是「斜邊」。如果你走到角C的位置，標籤就會改變！現在，AB是「對邊」，BC是「鄰邊」。但斜邊永遠不變！

重點提示

「對邊」和「鄰邊」的名稱取決於你從哪個角看。而「斜邊」永遠是直角對面的邊。


第二節：三劍俠——正弦、餘弦和正切

現在來到重頭戲了！我們在三角學中有三個主要工具。它們分別是正弦 (sin)、餘弦 (cos) 和正切 (tan)。它們聽起來可能有點陌生，但它們只是我們剛剛學過的邊長比的名稱。

神奇的助記口訣：SOH CAH TOA

這是三角學中最重要的事情。這是一個聽起來有點搞怪的短語，它會準確地告訴你每個比例是什麼。大聲唸出來：「SOH - CAH - TOA」。

  • SOH 代表：Sin (正弦) = Opposite (對邊) / Hypotenuse (斜邊)
    $$ \sin(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}} $$
  • CAH 代表：Cos (餘弦) = Adjacent (鄰邊) / Hypotenuse (斜邊)
    $$ \cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypotenuse}} $$
  • TOA 代表：Tan (正切) = Opposite (對邊) / Adjacent (鄰邊)
    $$ \tan(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}} $$
快速重溫

SOH: $$ \sin(\theta) = \frac{O}{H} $$
CAH: $$ \cos(\theta) = \frac{A}{H} $$
TOA: $$ \tan(\theta) = \frac{O}{A} $$

重點提示

正弦、餘弦和正切只是直角三角形邊長的比。記住 SOH CAH TOA，每次都能正確寫出公式！


第三節：使用你的計算機——你的新摯友

你的計算機對 SOH CAH TOA 了如指掌。它有 `sin`、`cos` 和 `tan` 按鈕。

從角度找出比例

如果你知道一個角度，你就能找出它的比例。例如，要找出40度的正弦值：

  1. 確保你的計算機處於角度模式 (DEGREE mode)。你應該在屏幕頂部看到一個「D」或「DEG」。如果你看到「R」或「G」，說明模式不對！
  2. 按下 `sin` 按鈕。
  3. 輸入 `40`。
  4. 按下 `=`。你應該會得到大約 0.6427... 的結果。

從比例找出角度

如果你知道比例但需要找出角度怎麼辦？我們使用「反函數」。在你的計算機上尋找 `sin⁻¹`、`cos⁻¹` 和 `tan⁻¹`。通常你必須先按下 `SHIFT` 或 `2nd` 鍵。

例子：你計算出 $$ \sin(\theta) = 0.5 $$。要找出角度 $$ \theta $$：

  1. 按下 `SHIFT`，然後按下 `sin` 按鈕以獲得 `sin⁻¹`。
  2. 輸入 `0.5`。
  3. 按下 `=`。計算機將告訴你角度是 30 度。
常見錯誤警示！

永遠、永遠、永遠都要檢查你的計算機是否處於 DEG (角度) 模式！如果它處於 RAD (弧度) 或 GRA (梯度) 模式，你將會得到完全不同的答案，而且對於這些問題來說，它們都是錯誤的。


第四節：解決問題——融會貫通！

這就是奇蹟發生的地方！我們可以使用 SOH CAH TOA 來找出缺失的邊長和角度。

甲部：找出未知邊長

讓我們找出一個三角形中邊長 x 的長度，其中斜邊為 10 厘米，一個角為 35°。

  1. 標示邊長：從 35° 角看，x 是對邊，而 10 厘米是斜邊。
  2. 選擇你的比例：我們有 O 和 H。看看 SOH CAH TOA。擁有 O 和 H 的是... SOH！所以我們使用正弦。
  3. 寫出方程：
    $$ \sin(35^\circ) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{x}{10} $$
  4. 解出 x：為了單獨得到 x，將兩邊都乘以 10。
    $$ x = 10 \times \sin(35^\circ) $$
    使用你的計算機：$$ x \approx 5.74 $$ 厘米。

乙部：找出未知角度

讓我們找出一個三角形中的角度 $$ \theta $$，其中對邊是 5 厘米，鄰邊是 8 厘米。

  1. 標示邊長：我們知道對邊 (5) 和鄰邊 (8)。
  2. 選擇你的比例：我們有 O 和 A。擁有 O 和 A 的是... TOA！所以我們使用正切。
  3. 寫出方程：
    $$ \tan(\theta) = \frac{\text{Opposite}}{\text{Adjacent}} = \frac{5}{8} $$
  4. 解出 $$\theta$$：計算比例：$$ \frac{5}{8} = 0.625 $$。
    現在在你的計算機上使用反正切函數：
    $$ \theta = \tan^{-1}(0.625) $$
    你的計算機將顯示：$$ \theta \approx 32^\circ $$。

第五節：特殊角（三角學中的「貴賓」）

有三個角度在數學中非常特殊，我們需要牢記它們的三角比：30°、45° 和 60°。它們能給出簡潔、精確的答案，而不是長串小數！

特殊值表
| 角度 ($$\theta$$) | $$ \sin(\theta) $$ | $$ \cos(\theta) $$ | $$ \tan(\theta) $$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 30° | $$ \frac{1}{2} $$ | $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{3}} $$ | | 45° | $$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$ | 1 | | 60° | $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ | $$ \frac{1}{2} $$ | $$ \sqrt{3} $$ |
你知道嗎？

你只需畫兩個簡單的三角形，就可以推導出所有這些值！一個是等腰直角三角形（邊長為 1、1、$$ \sqrt{2} $$），另一個是半個等邊三角形（邊長為 1、2、$$ \sqrt{3} $$）。試試對它們應用 SOH CAH TOA，看看表中的數值是怎麼來的！


第六節：性質與關係——秘密聯繫

這三個比值之間有一些很酷的關係。即使一開始覺得有點難，也不用擔心，它們都是以後會變得非常有用的捷徑！

商數恆等式

這個恆等式把三個比值都聯繫起來。原來正切只是正弦除以餘弦！

$$ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $$

畢氏恆等式

這個恆等式來自畢氏定理，並且超級強大。

$$ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $$

（註：$$ \sin^2(\theta) $$ 只是 $$ (\sin(\theta))^2 $$ 的簡寫）

餘角

在一個直角三角形中，兩個銳角相加總和永遠是 90°。這會產生一個巧妙的模式：

  • $$ \sin(\theta) = \cos(90^\circ - \theta) $$ （一個角的正弦是其餘角的餘弦）
  • $$ \cos(\theta) = \sin(90^\circ - \theta) $$ （一個角的餘弦是其餘角的正弦）
  • $$ \tan(\theta) = \frac{1}{\tan(90^\circ - \theta)} $$

例如，$$ \sin(30^\circ) $$ 和 $$ \cos(60^\circ) $$ 完全相同。用你的計算機試試看！


第七節：現實世界的三角學——無處不在！

讓我們看看三角學如何應用於解決現實生活中的問題。

仰角和俯角

這些是當你向上或向下看物體時，角度的特殊名稱。

  • 仰角：如果你是向上看一個物體，這是水平地面和你視線之間的角度。（想想「仰」就是抬頭的意思）。
  • 俯角：如果你站在高處向下看，這是水平線和你視線之間的角度。（想想「俯」就是向下看的意思）。

例子：一個人站在離樹20米遠的地方，測得樹頂的仰角為40°。樹有多高？
你有鄰邊 (20米)，想找出對邊 (高度)。使用 TOA！
$$ \tan(40^\circ) = \frac{\text{height}}{20} $$
$$ \text{height} = 20 \times \tan(40^\circ) \approx 16.8 $$ 米。

梯度

梯度衡量斜坡的陡峭程度。你可能在路牌上見過它。梯度是「升高」除以「橫移」。你猜怎麼著？這和對邊/鄰邊是一樣的！

梯度 = $$ \tan(\theta) $$，其中 $$ \theta $$ 是斜坡的角度。

方位角

方位角用於導航，描述方向。主要有兩種：

  1. 真方位角：從 000° 到 359° 的角度，從正北方順時針測量。它必須始終寫成三位數。例子：050° 是從正北方順時針轉 50°。220° 是從正北方順時針轉 220°。
  2. 羅盤方位角：我們從北 (N) 或南 (S) 開始，然後向東 (E) 或西 (W) 轉動一定的角度。例子：N25°E 表示先面向北方，然後向東轉 25°。
重點提示

三角學幫助我們將現實世界中的角度和距離聯繫起來。通過畫一個直角三角形，你就可以解決關於高度、距離、坡度，以及方向的問題。你一定做得到！