歡迎來到三角學的世界！
各位同學，大家好！準備好探索一個超實用的數學分支——三角學了嗎？它聽起來可能有點複雜，但其實它就是研究三角形的學問。
你有沒有想過，人們是怎樣在不爬樹的情況下，量度一棵大樹或一幢高樓大廈的高度？又或者，視像遊戲設計師是怎樣創造出引人入勝的3D世界？答案就是他們都運用了三角學！在這個章節裡，你將會學到量度遙不可及的角度和距離的秘訣，並會明白三角形是如何成為我們周圍世界中許多事物的隱藏基石。
剛開始時如果覺得有點困難，也不用擔心。我們會把所有內容拆解成簡單易明的步驟。讓我們開始吧！
第一部分：基礎篇——認識直角三角形
首先，快速複習一下
三角學是關於一種特別的三角形：直角三角形。任何一個角恰好是90度的三角形（就像正方形的角一樣），就是直角三角形。
邊的命名
在三角學中，直角三角形的三條邊都有特別的名稱。但有個小訣竅：其中兩條邊的名稱會根據你所觀察的角度而改變！我們將使用希臘字母θ（讀作theta，希塔）來代表我們的角度。
1. 斜邊
這個最簡單了！斜邊永遠是直角三角形中最長的邊，而且它總是位於90度直角的對面。
2. 對邊
對邊是指在你感興趣的角度θ的正對面那條邊。
3. 鄰邊
鄰邊是指在角度θ旁邊，但不是斜邊的那條邊。你可以把「鄰邊」想像成「鄰居」一樣。例子：想像你正站在角度θ的位置。房間對面的牆是你的「對邊」。你旁邊的牆是你的「鄰邊」！而你上方傾斜的天花板就是「斜邊」。
重要提示：如果你改變了所觀察的角度，對邊和鄰邊的位置會互換！但斜邊永遠保持不變。
重點提示
在直角三角形中，我們必須根據所選的角度（θ），正確標記斜邊、對邊和鄰邊。這是最關鍵的第一步！
第二部分：三大基本比——SOH CAH TOA
甚麼是三角比？
三角學給了我們三個神奇的工具，它們能把直角三角形的角度和邊長連繫起來。這些工具分別稱為正弦（sine）、餘弦（cosine）和正切（tangent）。我們通常會把它們簡寫為sin、cos和tan。
神奇的記憶口訣：SOH CAH TOA
這是所有數學中最著名的助記法，更是你成功的關鍵！大聲地唸出來：「SOH - CAH - TOA」。
它們的意思是：
SOH 代表：Sin（正弦）= Opposite（對邊） / Hypotenuse（斜邊）
$$sin(θ) = \frac{Opposite}{Hypotenuse}$$
CAH 代表：Cos（餘弦）= Adjacent（鄰邊） / Hypotenuse（斜邊）
$$cos(θ) = \frac{Adjacent}{Hypotenuse}$$
TOA 代表：Tan（正切）= Opposite（對邊） / Adjacent（鄰邊）
$$tan(θ) = \frac{Opposite}{Adjacent}$$
如何運用SOH CAH TOA
當你需要找出缺失的邊長或角度時，請跟著這些簡單的步驟：
步驟一：選擇你的角度（θ）。這個角度可以是已知角度，也可以是你想要找出的角度。
步驟二：從你選擇的角度θ出發，標記三角形的三條邊：斜邊（H）、對邊（O）和鄰邊（A）。
步驟三：看看你已知甚麼，需要甚麼。如果你已知對邊和斜邊（O和H），就用SOH！如果你已知鄰邊和斜邊（A和H），就用CAH！如果你已知對邊和鄰邊（O和A），就用TOA！
步驟四：寫下方程式並解出未知數的值。這部分你需要用到計算機！請確保你的計算機設定為「度」（Degrees）模式（在屏幕上尋找DEG字樣）。
常見錯誤提醒
- 忘記先標記邊。這是導致錯誤的頭號原因！
- 混淆了應該使用哪個三角比。請務必寫下SOH CAH TOA來幫助你選擇。
- 當尋找角度時，記得使用計算機上的反三角函數按鈕，它們看起來像$$sin^{-1}, cos^{-1},$$ 或 $$tan^{-1}$$。
重點提示
SOH CAH TOA是三角學的關鍵。它會告訴你，根據你已知和想找的邊，應該使用哪個三角比（sin、cos或tan）。
第三部分：特殊角（30°、45°、60°）
無需計算機！
有些角度在數學和設計中非常常用，因此知道它們的精確三角比值而無需使用計算機是非常有用的。這些特殊角就是30°、45°和60°。這些值通常是包含平方根的簡單分數。
特殊角數值表
以下是你應該熟悉的值。雖然你可以從特殊三角形中推導出它們，但目前我們重點是記住它們。
角度 (θ) | sin(θ) | cos(θ) | tan(θ)
----------------------------------------------------------------------
30° | $$ \frac{1}{2} $$ | $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{3}} $$
----------------------------------------------------------------------
45° | $$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{2}} $$ | $$ 1 $$
----------------------------------------------------------------------
60° | $$ \frac{\sqrt{3}}{2} $$ | $$ \frac{1}{2} $$ | $$ \sqrt{3} $$
你知道嗎？
你發現規律了嗎？30°的正弦值與60°的餘弦值相同。而60°的正弦值與30°的餘弦值也相同。這可不是巧合，我們將在下一部分解釋原因！
重點提示
記住或能夠快速找出30°、45°和60°的精確三角比值，是一個非常棒的技能，它能幫助你更快、更準確地解決問題。
第四部分：重要性質與關係
三個三角比之間有著奇妙的關係。理解這些性質（也稱為恆等式）會讓你擁有三角學的「超能力」！這些性質適用於任何介乎0°和90°之間的角度θ。
性質一：商數恆等式
這個性質將tan、sin和cos連結在一起。
$$tan(θ) = \frac{sin(θ)}{cos(θ)}$$
如果你仔細想想，這是很合理的：$$(\frac{O}{H}) / (\frac{A}{H}) = \frac{O}{H} \times \frac{H}{A} = \frac{O}{A}$$，這正是tan(θ)的公式！
性質二：畢氏恆等式
這是最著名的恆等式，它的命名源於畢達哥拉斯定理（或稱畢氏定理）。
$$sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1$$
注意：$$sin^2(θ)$$只是$$(sin(θ))^2$$的一種比較「花俏」的寫法。如果你已知cos(θ)想找出sin(θ)，反之亦然，這個法則將會非常有用。
性質三：餘角
餘角是指兩個加起來等於90°的角度。
在任何直角三角形中，那兩個非直角總是互為餘角。這引導出一個巧妙的技巧：
$$sin(90° - θ) = cos(θ)$$
$$cos(90° - θ) = sin(θ)$$
這就是為什麼sin(30°) = cos(60°)的原因，因為30°和60°加起來剛好是90°！
正切也有一個類似的關係：
$$tan(90° - θ) = \frac{1}{tan(θ)}$$
性質四：三角比的變化趨勢
當角度θ變大（趨近90°時）：
- sin(θ)的值會增加（從略大於0逐漸趨向1）。
- cos(θ)的值會減少（從接近1逐漸趨向0）。
- tan(θ)的值會增加（從略大於0並變得非常大）。
快速複習框
重要恆等式回顧：
- $$tan(θ) = \frac{sin(θ)}{cos(θ)}$$
- $$sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1$$
- $$sin(90° - θ) = cos(θ)$$
重點提示
三角比並非隨機的；它們由強大且可預測的法則聯繫在一起。了解這些恆等式能幫助你解決更複雜的問題。
第五部分：三角學在現實世界中的應用！
好的，讓我們運用所有這些知識來解決一些實際問題。這就是三角學真正大放異彩的地方！
仰角和俯角
當你向上或向下看東西時，這些角度有著特別的名稱。
- 仰角：這是你從水平線向上看的角度。（想像一下從地面向上看旗杆頂部的角度）。
- 俯角：這是你從水平線向下看的角度。（想像一下你站在懸崖上，向下看水中的小船）。
重要提示：從地面到物體的仰角，永遠等於從物體到地面的俯角！它們與平行水平線形成一個「Z」字形。
梯度
梯度衡量了斜坡的陡峭程度，例如小山丘或斜道。你可能聽過它被稱為「高度差除以水平距離」。
$$Gradient = \frac{Vertical Rise}{Horizontal Run}$$
你猜怎麼著？在直角三角形中，「高度差」就是對邊，「水平距離」就是鄰邊。這意味著……
$$Gradient = \frac{Opposite}{Adjacent} = tan(θ)$$
所以，斜坡的梯度其實就是其傾斜角（θ）的正切值！
方位角
方位角用於導航，以描述方向。有兩種主要類型你需要知道。
1. 真方位角
- 從正北方向（000°）開始，順時針量度。 - 總是寫成三位數。 - 例子：東是090°，南是180°，而45°的方向將寫成045°。
2. 羅盤方位角
- 從正北（N）或正南（S）開始。 - 然後說明向東（E）或向西（W）的角度。 - 例子：N40°E表示從正北方向開始，向東轉40度。S20°W表示從正南方向開始，向西轉20度。重點提示
三角學是解決現實世界問題的強大工具。透過建立直角三角形，你可以找出高度（利用仰角）、陡峭程度（利用梯度）和方向（利用方位角）。