物理學筆記：動量 (一維)
哈囉！歡迎來到動量的世界！你有沒有想過，一顆細小但高速的子彈為何會有巨大衝擊力，或者汽車安全氣囊如何救人一命呢？答案就來自動量這個概念了。在這份筆記中，我們會將動量、衝量和碰撞的所有重要知識為你拆解。不用擔心聽起來很複雜；我們會用簡單例子解釋清楚。快點一起來學習吧！
1. 什麼是動量？就是「運動中的質量」！
想像一下，一個保齡球和一個網球以相同的慢速度向你滾來。你會想停止哪一個？當然是網球了！為什麼？因為保齡球有更大的質量。現在，想像有兩個網球。一個是輕輕拋出的，另一個是由大炮射出的。哪一個比較難停止？當然是由大炮射出的那個了，因為它有高許多的速度。
這種「有多難停止一個物體」的想法，就是物理學家所說的線性動量。它是量度物體「運動量」的一種方法，結合了它的質量和速度。
線性動量 (p) 的定義
動量是物體質量和它速度的乘積。我們用字母 p 來代表動量。
公式很簡單：
$$ p = m \times v $$當中：
p = 動量 (單位為 kg m s⁻¹)
m = 質量 (單位為 kg)
v = 速度 (單位為 m s⁻¹)
動量是向量！
這點超級重要！因為速度有方向，所以動量亦有方向。在一維問題中，我們會用正 (+) 負 (-) 號來表示方向。
例如，如果我們將『向右』定為正方向：
- 一部向右行駛的汽車有正 (+) 動量。
- 一部向左行駛的汽車有負 (-) 動量。
常見錯誤警示： 學生在動量問題出錯的首要原因，就是忘記為速度加上正確的正負號。請記住，永遠要先定義你的正方向！
動量的單位
標準單位是公斤米每秒 (kg m s⁻¹)。你亦可能會見到寫成牛頓秒 (N s)。它們是完全相同的東西！
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什麼是動量？ 量度物體「運動中的質量」的方法。
公式： $$p = mv$$
主要特性： 它是向量！方向很重要。
重點摘要： 動量告訴你一個運動中的物體有多大『衝勁』。質量越大或者速度越快，動量就越大。
2. 動量的變化與衝量
要改變物體的速度（即是加速它），你需要施加一個淨力。既然動量取決於速度，那麼就合理地表示需要淨力才可以改變物體的動量。這就是牛頓第二定律的核心！
牛頓第二定律 (動量版本)
你可能已經知道牛頓第二定律是 $$F = ma$$。但其實還有一個更基本的表達方式：
施加在物體上的淨力，等於物體動量的變化率。
用公式來說就是：
$$ F_{net} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{p_{final} - p_{initial}}{\Delta t} = \frac{mv - mu}{\Delta t} $$當中：
$$F_{net}$$ = 淨力 (N)
$$\Delta p$$ = 動量的變化 (kg m s⁻¹)
$$\Delta t$$ = 力作用的時間間隔 (s)
衝量 (J) 登場！
如果我們將上面這條公式重新排列，就會得到一個非常有用的式子：
$$ F_{net} \times \Delta t = \Delta p $$這個量，$F_{net} \times \Delta t$，就叫做衝量。所以，衝量就簡單地等於動量的變化。
衝量 = 動量變化
這個關係給了我們一個強大的現實世界聯繫。要產生某個動量變化 ($$\Delta p$$)，你可以用大的力在短時間內施加，或者用小的力在長時間內施加。
現實例子：
- 安全氣囊與緩衝區：當汽車發生碰撞時，動量變化 ($$\Delta p$$) 是固定的（由高速變到零）。安全氣囊和緩衝區會增加碰撞時間 ($$\Delta t$$)。由於 $$F = \Delta p / \Delta t$$，增加 $$\Delta t$$ 會大幅減少乘客所承受的力 (F)，從而拯救生命。
- 屈膝：當你從高處跳下時，落地時你會屈曲膝蓋。這樣做會增加停止的時間，從而減少施加在你雙腿上的力。
- 運動中的隨揮：當擊打網球或高爾夫球時，運動員會『隨揮』。這樣做可以令球拍/球桿與球接觸更長時間 ($$\Delta t$$)，施加更大的衝量 ($$F \Delta t$$)，從而產生更大的動量變化 ($$\Delta p$$)，令球飛得更快！
重點摘要： 衝量就像你給物體的『一腳』。它是施加的力乘以施加時間的乘積，而且它就等於物體的動量變化。想減輕撞擊的痛楚，就要增加撞擊時間！
3. 動量守恆定律
這是物理學中最重要定律之一！它很簡單但又超級強大。
線性動量守恆定律指出，在一個封閉系統（即是沒有摩擦力等外來淨力的系統）中，碰撞或相互作用前的總動量，會等於相互作用後的總動量。
簡單來說：動量不會消失，只會轉移。
對於兩個物體（物體一和物體二）之間的碰撞，公式是：
$$ m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2 $$當中：
m₁ , m₂ = 物體的質量
u₁ , u₂ = 初始速度（碰撞前）
v₁ , v₂ = 最終速度（碰撞後）
這與牛頓第三定律有什麼關係？
問得好！牛頓第三定律指出，每一個作用力都有一個大小相等、方向相反的反作用力。在碰撞期間：
- 物體二施加在物體一的力（我們稱它為 F₁₂）與物體一施加在物體二的力（F₂₁）是大小相等、方向相反的。所以，$$F_{12} = -F_{21}$$
- 接觸時間 ($$\Delta t$$) 對兩者來說都是一樣。
- 因此，物體一所承受的衝量 ($$F_{12} \Delta t$$) 與物體二所承受的衝量 ($$-F_{21} \Delta t$$) 是大小相等、方向相反的。
- 由於衝量等於動量的變化，這就意味著 $$ \Delta p_1 = - \Delta p_2 $$。將它重新排列就會得出 $$ \Delta p_1 + \Delta p_2 = 0 $$。整個系統的總動量變化是零。如果總動量沒有變，那麼就一定是守恆了！
你知道嗎？
這個定律解釋了火箭在太空真空環境中如何運作。那裡沒有空氣給它們推動。相反，火箭會以高速將熱氣體從引擎噴出。氣體在一個方向獲得動量，所以為了守恆總動量（它最初是零），火箭就必須在相反方向獲得相等的動量！
重點摘要： 在任何沒有外來力參與的碰撞或爆炸中，所有物體加起來的總動量會維持完全不變。
4. 碰撞的類型 (一維)
雖然在封閉系統中動量永遠守恆，但動能 ($$KE = \frac{1}{2}mv^2$$) 就不是永遠都守恆。我們會根據動能的變化來將碰撞分類。
彈性碰撞
彈性碰撞是一種『完美彈跳』。
- 動量守恆。
- 動能亦都守恆。
沒有能量會因為熱、聲或者物體變形而損失。雖然沒有大型碰撞是完全彈性的，但撞球或原子之間的碰撞就非常接近彈性碰撞。
非彈性碰撞
這是一種任何動能會損失的碰撞。
- 動量守恆。
- 動能不守恆（它會減少）。
『損失』的動能會轉化成其他形式的能量，例如聲音（碰撞的『砰』一聲）、熱能（物體會變熱），以及使物體變形所做的功（例如汽車凹陷）。
完全非彈性碰撞
這是一種特別、容易處理的非彈性碰撞。
- 碰撞後物體會黏在一起，並以單一的共同最終速度移動。
- 這種碰撞會損失最多的動能。
例子： 一團泥膠撞牆後黏住；兩節火車車廂連接在一起。
動量守恆方程式會變得簡單許多：
碰撞快速總結
彈性碰撞： 動量守恆？是。動能守恆？是。
非彈性碰撞： 動量守恆？是。動能守恆？不是（動能有損失）。
完全非彈性碰撞： 動量守恆？是。動能守恆？不是（物體黏在一起）。
重點摘要： 在封閉系統的所有碰撞中，動量都是你可靠、守恆的好朋友。動能只會在完美的『彈性』彈跳中守恆。
5. 如何解一維動量問題
讓我們將所有東西整合在一起。跟著這些步驟做，你很快就會掌握這些問題了！
你的逐步指南
1. 畫圖： 畫一個簡單的碰撞「之前」和「之後」圖。
2. 定義方向： 選一個方向做正 (+) 方向。那麼相反的方向就是負 (-) 方向了。（例如：向右是 +，向左是 -）。這是最！關！鍵！的步驟！
3. 列出變數： 寫下 m₁、u₁、m₂、u₂ 等的數值。為所有速度賦予正確的正負號。確認你需要找什麼。
4. 選擇方程式： 你會用動量守恆方程式嗎？$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$$。如果它們黏在一起呢？$$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v_{final}$$。
5. 代入並求解： 小心地代入你的數值，記得保留正負號。求解未知變數。
6. 檢查答案： 你最終答案的正負號合理嗎？如果你得到負速度，只代表物體正向你定義的負方向移動。
例題：黏貼碰撞
一個 3 公斤的手推車 (手推車 A) 以 2 m/s 的速度向右移動，撞向一個靜止的 1 公斤手推車 (手推車 B)。碰撞後它們黏在一起。它們的最終速度是多少？
步驟 1 & 2：畫圖與方向
我們將向右定為正 (+) 方向。
之前： 手推車 A (3kg) ---> (u_A = +2 m/s)。手推車 B (1kg) 是靜止的 (u_B = 0 m/s)。
之後： 手推車 A+B (3+1=4kg) 一起移動 ---> (v_final = ?)。
步驟 3：列出變數
m_A = 3 kg
u_A = +2 m/s
m_B = 1 kg
u_B = 0 m/s
v_final = ?
步驟 4：選擇方程式
它們黏在一起，所以是一個完全非彈性碰撞。
$$ m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B) v_{final} $$
步驟 5：代入並求解
$$ (3)(+2) + (1)(0) = (3 + 1) v_{final} $$
$$ 6 + 0 = (4) v_{final} $$
$$ 6 = 4 v_{final} $$
$$ v_{final} = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ m/s} $$
步驟 6：檢查答案
最終速度是 +1.5 m/s。正號代表兩部手推車是向右移動，完全合理！做得好！