變分：事物如何互相聯繫變化
各位同學好！歡迎來到變分這個課題。有沒有想過世界上的事物是如何互相連繫的呢？例如：你讀書讀得越多，成績就越好？又或者你車速越快，旅程所需時間就越短？這就是變分的精髓所在！它是一門描述數量之間關係的數學。
這個課題超級實用，不單止對你的考試有幫助，更能讓你理解科學、經濟學，甚至是日常生活中的煮食或計劃旅程！就算聽起來有點複雜也不用擔心；我們會把它拆解成簡單易明的部分。我們開始吧！
第一部分：正變 — 一個增加，另一個也隨之增加！
這是最簡單的關係類型。當兩個數量成正變時，意味著當其中一個增加時，另一個也會以相同的速率增加。如果一個減少，另一個也會減少。
真實例子： 想像一下你正在買珍珠奶茶。你買的杯數越多，花的錢就越多。杯數和總費用之間就是成正變關係。
術語與公式
你會看到以下詞語：
- 「y 隨 x 正變」
- 「y 與 x 成正比」
這兩句話意思相同，都可以轉化為一個簡單的方程式：
$$ y = kx $$
這裡，k 是變分常數（或稱為比例常數）。它是一個連接 y 和 x 的固定數值（但不能為零！）。在任何變分問題中，你的首要任務幾乎總是找出這個「k」。
正變問題的解題步驟：
- 寫出一般方程式：首先寫出 $$y = kx$$。(有時候可能是 $$y = kx^2$$ 或 $$y = k\sqrt{x}$$，題目會告訴你！)。
- 找出「k」：利用題目給予的第一組資料（已知 y 和 x 的數值）來計算 k 的數值。
- 寫出特定方程式：把你剛才找到的 k 數值代入方程式中。這樣你就得到了連接你變量的特定公式。
- 解決問題：使用你的新特定方程式和最後一組資料來找出未知數值。
我們來試一個例子：
問題：y 隨 x 正變。若 y = 24 當 x = 8 時，求當 x = 5 時 y 的值。
步驟 1：一般方程式
我們寫出：$$y = kx$$
步驟 2：找出「k」
我們代入已知數值，y = 24 和 x = 8：
$$ 24 = k(8) $$
為了找出 k，我們將兩邊除以 8：
$$ k = \frac{24}{8} = 3 $$
所以，我們的變分常數是 3！
步驟 3：特定方程式
既然我們知道了 k，我們的特定方程式就是：$$y = 3x$$
步驟 4：解決問題
我們需要找出當 x = 5 時的 y 值。我們使用我們的新方程式：
$$ y = 3(5) $$
$$ y = 15 $$
答案：y 的值是 15。很簡單吧？
正變的圖像
正變（例如 $$y = kx$$）的圖像總是一條通過原點 (0, 0) 的直線。這條線的傾斜度（斜率）就是你的變分常數 k。
提提你：課程大綱指出數值（定義域）可以是負數，所以這條線也會延伸到負象限！
正變的重點歸納
關鍵字：「隨…正變」、「與…成正比」。
方程式：$$y = kx$$
意思：如果 x 增加一倍，y 也增加一倍。如果 x 減半，y 也減半。它們是個團隊！
第二部分：反變 — 一個增加，另一個卻減少！
反變則剛好相反。當一個數量增加時，另一個數量會按比例減少。
真實例子： 想想分享披薩。你與越多的朋友分享，每人分到的披薩就會越小塊。朋友數量和每塊披薩的大小就是成反變關係。
術語與公式
你會看到以下詞語：
- 「y 隨 x 反變」
- 「y 與 x 成反比」
這可以轉化為以下方程式：
$$ y = \frac{k}{x} $$
同樣地，k 是我們重要的變分常數，我們需要首先找出它。
我們來試一個例子：
問題：完成一項工作所需時間 (T 小時) 隨工人數量 (N) 反變。如果 4 個工人需要 6 小時完成工作，那麼 3 個工人需要多長時間？
步驟 1：一般方程式
變量是 T 和 N。方程式是：$$T = \frac{k}{N}$$
步驟 2：找出「k」
代入 T = 6 和 N = 4：
$$ 6 = \frac{k}{4} $$
為了找出 k，將兩邊乘以 4：
$$ k = 6 \times 4 = 24 $$
步驟 3：特定方程式
這項工作的特定公式是：$$T = \frac{24}{N}$$
步驟 4：解決問題
我們需要找出 3 個工人（N = 3）所需的時間 (T)：
$$ T = \frac{24}{3} $$
$$ T = 8 $$
答案：3 個工人將需要 8 小時完成這項工作。
反變的圖像
反變（例如 $$y = k/x$$）的圖像是一條稱為雙曲線的曲線。
- 它不會穿過原點 (0, 0)。想想看：你不能除以零！
- 這條曲線會越來越接近 x 軸和 y 軸，但永遠不會接觸到它們。
你知道嗎？
物理學中許多事物都遵循「平方反比定律」。例如，兩個物體之間的引力與它們之間距離的平方成反比（$$F = \frac{k}{d^2}$$）。這意味著如果你與地球的距離增加一倍，地球對你的引力就會減弱四倍！
反變的重點歸納
關鍵字：「隨…反變」、「與…成反比」。
方程式：$$y = \frac{k}{x}$$
意思：如果 x 增加一倍，y 減半。如果 x 增加三倍，y 變成三分之一。它們的變化方向是相反的。
第三部分：聯變 — 團隊合作！
聯變只是正變的延伸，但涉及多於一個變量。一個數量會「共同」隨兩個或更多其他數量變化。
真實例子： 你在簡單利息儲蓄帳戶中賺取的利息，會共同隨你投資的金額（本金）和你在銀行存放的時間而變化。
術語與公式
如果「z 共同隨 x 和 y 變」，這表示 z 與 x 和 y 的乘積成正比。
$$ z = kxy $$
你甚至可以混合搭配！例如，「z 隨 x 正變而隨 y 反變」會是：
$$ z = \frac{kx}{y} $$
記憶小貼士：「共同」或「正變」會將變量放在上方（分子）。「反變」則會將變量放在下方（分母）。
我們來試一個例子：
問題：C 共同隨 A 和 B 的平方變。若 C = 72 當 A = 4 和 B = 3 時，求當 A = 2 和 B = 5 時 C 的值。
步驟 1：一般方程式
「共同隨 A 和 B 的平方變」表示：$$C = kAB^2$$
步驟 2：找出「k」
代入 C = 72, A = 4, B = 3：
$$ 72 = k(4)(3^2) $$
$$ 72 = k(4)(9) $$
$$ 72 = 36k $$
$$ k = \frac{72}{36} = 2 $$
步驟 3：特定方程式
我們的特定公式是：$$C = 2AB^2$$
步驟 4：解決問題
找出當 A = 2 和 B = 5 時的 C：
$$ C = 2(2)(5^2) $$
$$ C = 2(2)(25) $$
$$ C = 4(25) = 100 $$
答案：C 的值是 100。
聯變的重點歸納
關鍵字：「共同隨…變」，通常涉及多於兩個變量。
方程式：組合多個變量，例如 $$z = kxy$$ 或 $$z = \frac{kx}{y}$$。
意思：這是一種關係，其中一個事物取決於多個其他因素共同作用。
第四部分：部分變 — 混合搭配！
這個可能看起來有點棘手，但這個概念在現實生活中非常常見。部分變意味著一個變量是一個常數部分和一個可變部分的總和。
最佳真實例子： 你的手機帳單！你可能需要支付固定的月費（常數部分），再加上根據你使用的數據量計算的費用（可變部分）。總帳單 = 固定費用 + (每 GB 費用 × 已用 GB 數)。
術語與公式
用詞通常會很清晰：
- 「y 部分為常數，部分隨 x 變」
這表示我們需要兩個常數，一個用於固定部分，一個用於可變部分。我們將它們稱為 $$k_1$$ 和 $$k_2$$。
$$ y = k_1 + k_2x $$
最大不同點：要解決這些問題，你將會獲得兩組數據。你需要利用這些數據來建立一對聯立方程，從而找出 $$k_1$$ 和 $$k_2$$。
我們來試一個例子：
問題：的士車費 ($C) 部分為常數，部分隨距離 (d km) 正變。乘坐 5 公里需 $60。乘坐 9 公里需 $92。求乘坐 10 公里所需的車費。
步驟 1：一般方程式
「部分為常數，部分隨 d 變」表示：$$C = k_1 + k_2d$$
步驟 2：建立聯立方程
使用提供的兩組資料：
乘坐 5 公里（d=5），車費為 $60（C=60）：
$$ 60 = k_1 + k_2(5) \quad \dots (1) $$
乘坐 9 公里（d=9），車費為 $92（C=92）：
$$ 92 = k_1 + k_2(9) \quad \dots (2) $$
步驟 3：解聯立方程
讓我們使用消元法。從方程式 (2) 減去方程式 (1)：
$$ (92 - 60) = (k_1 - k_1) + (9k_2 - 5k_2) $$
$$ 32 = 4k_2 $$
$$ k_2 = \frac{32}{4} = 8 $$
現在將 $$k_2 = 8$$ 代回方程式 (1)：
$$ 60 = k_1 + 8(5) $$
$$ 60 = k_1 + 40 $$
$$ k_1 = 60 - 40 = 20 $$
因此，固定費用是 $20，而每公里費用是 $8。
步驟 4：寫出特定方程式
我們的公式是：$$C = 20 + 8d$$
步驟 5：解決問題
找出乘坐 10 公里（d=10）所需的車費 (C)：
$$ C = 20 + 8(10) $$
$$ C = 20 + 80 = 100 $$
答案：乘坐 10 公里所需的車費是 $100。
常見錯誤提醒
對於部分變，最大的錯誤是忘記有兩個常數（$$k_1$$ 和 $$k_2$$）。如果你只用一個「k」，你將無法解決問題！記住，兩個未知數（$$k_1, k_2$$）需要兩個方程式。
部分變的重點歸納
關鍵字：「部分為常數」、「部分隨…變」。
方程式：$$y = k_1 + k_2x$$（或其他類似形式）。
意思：一種包含固定起始值加上可變金額的關係。需要解聯立方程！
章節快速總結與備忘錄
正變
關鍵字：隨…正變…
方程式：$$y = kx$$
概念：它們同向變化。
反變
關鍵字：隨…反變…
方程式：$$y = \frac{k}{x}$$
概念：它們反向變化。
聯變
關鍵字：共同隨…變…
方程式：$$z = kxy$$（或 $$z = \frac{kx}{y}$$）
概念：一個事物取決於多個因素。
部分變
關鍵字：部分為常數，部分隨…變…
方程式：$$y = k_1 + k_2x$$
概念：固定部分 + 可變部分。（想想：聯立方程！）
就是這樣了！你已經學會了四種主要變分類型。成功的關鍵是仔細閱讀題目，辨識出是哪種變分類型，寫下正確的一般方程式，然後遵循步驟。繼續練習，你就會成為發現這些關係的專家！祝你好運！