數學 | 續概率

概率進階：你的學習指南

大家好！歡迎來到「概率進階」的學習筆記。你可能已經學過概率的基本概念，但現在我們要一起「升呢」了！我們會學習如何處理更複雜的情況，例如多個事件同時發生的機率。這聽起來可能有點難，但別擔心！我們會用簡單的語言和真實例子來為你逐步解說。理解這一章超級有用，不單止對應付考試有幫助，更能讓你更明白遊戲、新聞，以及現實世界中的決策！

1. 概率的語言：集合與事件

為了準確地討論概率，數學家們使用一種特殊的語言，叫做集合符號。你可以把它想像成概率的語法。一旦你認識了這些符號，一切都會變得清晰得多。

什麼是集合？

集合就是一些獨特項目的組合，我們稱這些項目為元素。

• 全集 (S 或 U)：這是一個實驗中所有可能結果的集合。類比：如果你擲一枚標準的六面骰子，全集就是 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
• 事件 (A, B, 等)：事件是指你感興趣的特定結果或一組結果。它是全集的一個「子集」。類比：事件「擲出一個雙數」將會是 A = {2, 4, 6}。

集合的可視化：文氏圖

文氏圖是一種圖形，能幫助我們看到集合之間的關係。它是一個非常棒的工具！我們用一個長方形來代表全集 (S)，並在裡面用圓圈來代表我們的事件 (A, B)。

主要集合運算

這是你將會看到的三種最重要的運算。別擔心，它們都基於簡單的詞語：「和」、「或」和「非」。

交集 (A ∩ B)：「和」運算

這表示同時存在於事件 A 和事件 B 中的元素。在文氏圖中，它是圓圈重疊的部分。

例子：設 A 為擲出雙數的事件 {2, 4, 6}，B 為擲出大於 3 的數的事件 {4, 5, 6}。那麼交集是 A ∩ B = {4, 6}，因為這些數既是雙數「又」大於 3。

併集 (A ∪ B)：「或」運算

這表示存在於事件 A 或 事件 B (或兩者皆是) 中的元素。它包括兩個圓圈內的所有內容。

例子：沿用事件 A = {2, 4, 6} 和 B = {4, 5, 6}，它們的併集是 A ∪ B = {2, 4, 5, 6}。請注意，我們不會重複列出 4 和 6！

記憶小貼士：併集的符號 ∪ 就像一個杯子，把兩個集合的所有東西都裝在一起。

補集 (A')：「非」運算

這表示全集中所有不屬於事件 A 的元素。在文氏圖中，它是圓圈 A 以外的區域。

例子：如果 A 是擲出雙數的事件 {2, 4, 6}，那麼它的補集是 A' = {1, 3, 5}，即所有不是雙數的結果組成的集合。

重點歸納

集合符號為我們提供了表達概率概念的精確符號。請熟練掌握這三種：
- 交集 (∩) 代表「和」（重疊的部分）。
- 併集 (∪) 代表「或」（所有內容合併）。
- 補集 (') 代表「非」（其他所有內容）。

2. 加法定律：「或」概率的組合

既然我們已經學會了這些符號語言，現在就來應用它們吧！加法定律幫助我們找出事件 A 或 事件 B 發生的概率，即 $$P(A \cup B)$$。

一般加法定律

這是你必須知道的主要公式：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

為什麼我們要減去 $$P(A \cap B)$$ 呢？
想想文氏圖。當我們把圓圈 A 的概率和圓圈 B 的概率相加時，我們把重疊部分（交集）重複計算了兩次！所以，我們必須減去一次，才能得到正確的總數。

逐步例子：

在一組學生中，擁有貓的概率是 0.4，擁有狗的概率是 0.5，同時擁有兩者的概率是 0.15。隨機選出一位學生，他擁有貓或狗的概率是多少？

1. 識別概率：
   P(有貓) = 0.4
   P(有狗) = 0.5
   P(有貓 ∩ 有狗) = 0.15
2. 應用公式：
   $$P(\text{有貓} \cup \text{有狗}) = P(\text{有貓}) + P(\text{有狗}) - P(\text{有貓} \cap \text{有狗})$$
   $$P(\text{有貓} \cup \text{有狗}) = 0.4 + 0.5 - 0.15 = 0.75$$

所以，該學生擁有貓或狗的機會是 0.75 (或 75%)。

特例 1：互斥事件

互斥事件是指不能同時發生的事件。
例子：當你擲骰子時，不可能同時擲出「1」和「6」。

對於這些事件，重疊是不可能的，所以 $$P(A \cap B) = 0$$。這使加法定律變得簡單得多：

互斥事件的加法定律： $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

特例 2：互補事件

還記得補集 A'（即「非 A」事件）嗎？一個事件和它的補集總是互斥的。更棒的是，它們覆蓋了所有可能性！

這給了我們一個超級實用的法則：

$$P(A) + P(A') = 1 \quad \text{或} \quad P(A') = 1 - P(A)$$

這是一個非常好的捷徑！有時候，計算一個事件不發生的概率，然後從 1 中減去它，會更容易。

常見錯誤提醒！

一個常見的錯誤是，對於可以同時發生的事件，忘記減去 $$P(A \cap B)$$。請務必問自己：「這兩個事件可以同時發生嗎？」如果答案是肯定的，你「必須」減去交集！

重點歸納

要找出 A 或 B 發生的概率，請使用加法定律。完整公式是 $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$。如果事件不能同時發生（互斥），那麼公式的最後一部分就是零。

3. 乘法定律：「和」概率與條件

這部分是關於找出事件 A 和 事件 B 同時發生的概率，即 $$P(A \cap B)$$。在這裡，你要問自己的關鍵問題是：「第一個事件會影響第二個事件嗎？」

獨立事件：互不影響

獨立事件是指一個事件的結果對另一個事件的結果完全沒有影響。

例子：擲硬幣後再擲骰子。硬幣擲出公仔（正面）並不會改變骰子擲出 6 的概率。

對於這些事件，我們使用獨立事件的乘法定律：

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

例子：

擲硬幣擲出公仔「和」擲骰子擲出 4 的概率是多少？

P(公仔 ∩ 4) = P(公仔) × P(4) = $$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} $$

相關事件和條件概率

相關事件是指第一個事件的結果會改變第二個事件概率的事件。

例子：從袋中抽出兩粒波子，而且「沒有放回」第一粒。第二次抽取的概率會取決於你第一次抽到了什麼。

這引出了一個新概念：條件概率。我們將其寫作 $$P(B|A)$$，意思是「在事件 A 已經發生的情況下，事件 B 發生的概率」。

這給了我們一般乘法定律（適用於任何事件）：

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

逐步例子：

一個袋裡有 3 粒紅色波子和 7 粒藍色波子。逐粒抽出兩粒波子，而且不放回。兩粒都是紅色的概率是多少？

1. 第一個事件的概率：
   設 A = 第一粒波子是紅色。$$P(A) = \frac{3}{10}$$
2. 第二個事件的概率（條件）：
   設 B = 第二粒波子是紅色。由於第一粒是紅色，現在只剩下 2 粒紅色波子，總共有 9 粒波子。所以，$$P(B|A) = \frac{2}{9}$$。
3. 應用公式：
   $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$$

你知道嗎？

判斷事件是否獨立的正式方法是檢查 $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$ 是否成立。你不應該只依靠直覺。如果該等式成立，事件就是獨立的；如果不然，它們就是相關的。

重點歸納

要找出 A 和 B 同時發生的概率，首先檢查它們是否獨立。
- 如果是（獨立），只需相乘：$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$。
- 如果否（相關），使用條件公式：$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$。

4. 概率增強：運用排列與組合

對於一些問題，可能會有太多結果無法一一列出。這時候，你在「排列與組合」章節學到的計數技巧就派上用場了！我們運用它們來找出基本概率公式中的分子和分母。

快速回顧：主要公式

$$ \text{事件的概率} = \frac{\text{有利結果的數目}}{\text{所有可能結果的總數}} $$

何時使用排列 (P) 對比 組合 (C)

這是最重要的決定。這裡有一個快速提示：

• 排列 ($$P_r^n$$)：順序重要。在排列項目、分配特定職位（例如：會長、副會長）或創建密碼時使用。記憶小貼士：排列 = 排位。
• 組合 ($$C_r^n$$)：順序不重要。在選擇一群人、組成委員會或選擇項目時，如果選擇的順序無關緊要，則使用組合。記憶小貼士：組合 = 組員。

逐步解題

遵循這些步驟，你就能像專業人士一樣解決這些問題！

1. 仔細閱讀題目。判斷順序是否重要（排列）或不重要（組合）。
2. 計算總結果數（分母）：找出在沒有題目中任何特殊條件的情況下，選擇項目的總方法數。
3. 計算有利結果數（分子）：找出滿足題目特定條件的選擇方法數。你可能需要在這裡使用乘法原理（對於「和」）。
4. 除法和簡化：將有利結果數除以總結果數，就能得到你的概率。

已完成的例子：

一個班級有 6 名男生和 5 名女生。現要選出一個由 4 名學生組成的委員會。委員會恰好有 2 名男生和 2 名女生的概率是多少？

步驟 1：排列還是組合？
這是一個委員會，所以選擇的順序並不重要。我們將使用組合 (C)。

步驟 2：總結果數（分母）
班級共有 11 名學生（6 名男生 + 5 名女生），我們從中選擇 4 名。
所有可能委員會的總數 = $$C_4^{11} = \frac{11!}{4!(11-4)!} = 330$$

步驟 3：有利結果數（分子）
我們需要恰好 2 名男生「和」2 名女生。
- 從 6 名男生中選擇 2 名的方法數：$$C_2^6 = \frac{6!}{2!4!} = 15$$
- 從 5 名女生中選擇 2 名的方法數：$$C_2^5 = \frac{5!}{2!3!} = 10$$
由於我們需要兩者兼備，所以相乘：$$15 \times 10 = 150$$ 個有利結果。

步驟 4：除法
概率 = $$ \frac{\text{有利}}{\text{總數}} = \frac{150}{330} = \frac{15}{33} = \frac{5}{11} $$

重點歸納

當概率問題涉及從一群組中選擇時，使用排列（順序重要）或組合（順序不重要）來快速計算總結果數和有利結果數。這將一個困難的問題轉化為結構化的計算。