圓的方程：你的完整指南
各位同學！歡迎來到「圓的方程」溫習筆記。不用擔心，這一章不是要你徒手畫出完美無瑕的圓形。相反，我們將會學習如何運用代數的語言，精確地描述任何一個圓形。這就像是為每個圓形在地圖上賦予一個獨一無二的地址一樣！
掌握這個概念非常有用，不僅僅是為了應付考試，在現實世界中也大派用場。想想看GPS如何精確定位你的位置、遊戲設計師如何創造圓形的攻擊範圍，又或是工程師如何設計齒輪。它們都運用了我們即將學習的原理。事不宜遲，立即開始吧！
1. 圓的基本方程（標準式）
我們從最重要的概念開始。什麼是圓形？它只是所有與某一個中心點距離相同的點的集合。這個固定的距離就是半徑 ($$r$$)，而中心點就是圓心 ($$(h, k)$$)。
快速溫習：距離公式
還記得距離公式嗎？它其實是畢氏定理的變相應用。兩點 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$ 之間的距離是：
$$ \text{距離} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$我們正是利用這個概念來建構圓的方程！
建構標準式
想像圓上任何一個點 $$(x, y)$$。這個點與圓心 $$(h, k)$$ 之間的距離必須永遠是半徑 $$r$$。
使用距離公式：
$$ r = \sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} $$為了消除這個令人煩惱的平方根，我們只需將方程兩邊平方。這樣便得到圓的方程的標準式：
關鍵公式：標準式
$$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$其中：
- $$(h, k)$$ 是圓心的坐標。
- $$r$$ 是半徑的長度。
比喻一下！想像一隻狗被繩子繫於一根柱子上。這根柱子就是圓心 (h, k)。繩子就是半徑 (r)。狗隻可以活動的路徑（當繩子拉盡時）就是這個圓形！
例子：
求圓心在 (3, -5) 且半徑為 4 的圓的方程。
逐步解說：
- 識別已知資料：圓心 $$(h, k) = (3, -5)$$ 和半徑 $$r = 4$$。
- 寫下標準式：$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$。
- 代入數值。小心正負號！
$$h = 3$$、$$k = -5$$、$$r = 4$$。 - $$(x - 3)^2 + (y - (-5))^2 = 4^2$$
- 簡化方程：
$$ (x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 16 $$
就是這樣！這就是這個特定圓形的獨特「地址」。
重點總結
標準式 $$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$ 是你最好的幫手。它直接告訴你圓形兩個最重要的資料：它的圓心和它的半徑。記著要留意括號內的正負號！
2. 另一種形式：圓的一般方程
有時候，你會看到圓的方程以一種凌亂的、展開了的形式出現。不用慌張！這稱為一般式，而我們可以輕易地將它轉換回我們喜歡的標準式。
關鍵公式：一般式
$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$其中 D、E 和 F 是常數。
最大的疑問是：如果你得到一般式，如何找出圓心和半徑？答案是一種你曾經學過的技巧：配方法。
從一般式找出圓心和半徑
讓我們找出圓 $$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$$ 的圓心和半徑。
逐步解說：
- 將x項和y項分組：將常數項 (F) 移到右方。
$$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$$ - 為x項配方：取x的系數（-6），除以2（-3），然後平方（9）。將其加到方程兩邊。
$$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y) = 12 + 9$$ - 為y項配方：取y的系數（4），除以2（2），然後平方（4）。將其加到方程兩邊。
$$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$$ - 因式分解及簡化：括號內的表達式現在是完全平方。
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$ - 識別圓心和半徑：現在是標準式了！
圓心 $$(h, k) = (3, -2)$$
半徑 $$r^2 = 25 \implies r = \sqrt{25} = 5$$
快捷方式（小心使用！）
對於一般式 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$：
- 圓心： $$ \left( -\frac{D}{2}, -\frac{E}{2} \right) $$
- 半徑： $$ r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F} $$
重要提示：要一個實圓存在，半徑的平方根號內的數值必須是正數！如果數值為零，則表示一個點。如果數值為負數，則不是一個實圓。
常見錯誤
- 正負號錯誤：對於圓心 $$(h, k)$$，請記住標準式是 $$(x-h)^2$$ 和 $$(y-k)^2$$。所以如果你看到 $$(x+3)^2$$，這表示 $$h = -3$$。
- 忘記開方：標準方程的右方是 $$r^2$$，而不是 $$r$$。請務必開方來找出半徑。
- 一般式快捷方式：使用快捷方式時，請記住圓心坐標 $$(-D/2, -E/2)$$ 的負號。
重點總結
一般式隱藏了圓的特性，但你總是可以透過配方法將其轉換回標準式，從而揭示它們。
3. 從不同線索找出方程
文憑試（DSE）題目經常會提供線索，要求你像偵探一樣找出圓的方程。以下是常見情況：
情況一：已知圓心和圓上的一點
求一個圓心在 (1, 2) 且經過點 (4, 6) 的圓的方程。
解：
- 我們已知圓心 $$(h, k) = (1, 2)$$，但我們需要半徑 $$r$$。
- 半徑就是圓心 (1, 2) 與圓上點 (4, 6) 之間的距離。使用距離公式！
- $$ r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$
- 現在我們有了圓心 (1, 2) 和半徑 $$r = 5$$。將其代入標準式：
$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2$$
$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$
情況二：已知圓上的三點
這是最棘手的一種情況，但這只是一個有系統地處理的問題。不用擔心，你一定做得到！
求經過點 A(1, 0)、B(-1, 2) 和 C(3, 4) 的圓的方程。
解：
- 從一般式開始：$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$。我們的目標是找出 D、E 和 F。
- 由於每個點都在圓上，它們必須滿足該方程。逐點代入。
對於 A(1, 0)： $$1^2 + 0^2 + D(1) + E(0) + F = 0 \implies 1 + D + F = 0$$ ... (i)
對於 B(-1, 2)： $$(-1)^2 + 2^2 + D(-1) + E(2) + F = 0 \implies 5 - D + 2E + F = 0$$ ... (ii)
對於 C(3, 4)： $$3^2 + 4^2 + D(3) + E(4) + F = 0 \implies 25 + 3D + 4E + F = 0$$ ... (iii) - 現在你得到一個包含三個未知數（D、E、F）的三元一次方程組。聯立求解它們。（你可以使用代入法或消元法）。
- 解這個方程組（試試看！），得到：$$D = -4$$、$$E = -6$$、$$F = 3$$。
- 將 D、E 和 F 代回一般方程：
$$ x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0 $$
4. 點與圓的位置關係
你如何判斷一個點是在圓內、圓外，還是恰好在圓上？這很簡單！
取標準式 $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$。要檢查一個點 $$(x_1, y_1)$$，只需計算 $$(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2$$ 的值，並與 $$r^2$$ 比較。
- 如果 $$(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 < r^2$$，該點在圓內。
- 如果 $$(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 = r^2$$，該點在圓上。
- 如果 $$(x_1-h)^2 + (y_1-k)^2 > r^2$$，該點在圓外。
例子：
點 P(5, 4) 在圓 $$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 40$$ 的圓內、圓外，還是在圓上？
解：
- 在此，$$r^2 = 40$$。
- 將點 P(5, 4) 代入方程的左方：
$$(5 - 2)^2 + (4 - (-1))^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$$ - 將結果（34）與 $$r^2$$（40）比較。
- 由於 $$34 < 40$$，點 P(5, 4) 在圓內。
5. 直線與圓的相交（進階課題）
如果你想爭取更高分數，這部分尤其重要。它結合了你對圓的認識以及聯立方程的解法。
當一條直線與一個圓相交時，有三種可能性：
- 兩個交點：該直線是割線。
- 一個交點：該直線是切線（它剛好觸碰到圓）。
- 沒有交點：該直線完全沒有與圓相交。
我們可以透過代數來找出屬於哪種情況，並找出精確的交點坐標。
找出交點
方法：聯立方程求解。
求直線 $$y = x - 1$$ 與圓 $$x^2 + y^2 = 25$$ 的交點。
逐步解說：
- 你有一條線性方程（$$y = x-1$$）和一個圓的方程（$$x^2 + y^2 = 25$$）。
- 代入線性方程到圓的方程中，以消去一個變數（在此，我們消去 y）。
$$ x^2 + (x-1)^2 = 25 $$ - 展開並簡化，得到一個二次方程。
$$ x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 25 $$
$$ 2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0 $$
$$ 2x^2 - 2x - 24 = 0 $$
$$ x^2 - x - 12 = 0 $$ （兩邊除以2以簡化） - 解二次方程，找出 x 的值（透過因式分解、公式等）。
$$ (x-4)(x+3) = 0 $$
$$ x = 4 $$ 或 $$ x = -3 $$ - 找出對應的 y 值，將這些 x 值代回簡單的線性方程（$$y = x - 1$$）。
如果 $$x = 4$$，那麼 $$y = 4 - 1 = 3$$。所以一個交點是 (4, 3)。
如果 $$x = -3$$，那麼 $$y = -3 - 1 = -4$$。所以另一個交點是 (-3, -4)。
交點是 (4, 3) 和 (-3, -4)。由於有兩個交點，該直線是一條割線。
使用判別式 ($$\Delta$$)
如果題目只問你交點的數目怎麼辦？你不需要完全解出所有數值！只需使用二次方程的判別式。
記住對於一個二次方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$，判別式是 $$\Delta = b^2 - 4ac$$。
當你得到簡化的二次方程後（就像上面例子中的 $$x^2 - x - 12 = 0$$）：
- 如果 $$\Delta > 0 \implies$$ 兩個相異實根 \implies 2個交點（割線）
- 如果 $$\Delta = 0 \implies$$ 一個重根 \implies 1個交點（切線）
- 如果 $$\Delta < 0 \implies$$ 沒有實根 \implies 0個交點（直線沒有與圓相交）
小貼士
這個判別式方法是解決需要找出未知數問題的關鍵。例如：「找出 k 的值，使得直線 $$y = 2x + k$$ 是圓 $$x^2 + y^2 = 5$$ 的切線」。為此，你需要代入，得到一個關於 x 和 k 的二次方程，然後將其判別式 $$\Delta = 0$$，便可以解出 k。
重點總結
要分析直線與圓的相交情況，請將線性方程代入圓的方程中。由此產生的二次方程蘊含著所有奧秘。解出交點坐標，或者利用其判別式找出交點的數目。