等差及等比數列：你的終極溫習指南！
各位同學大家好！歡迎來到代數中最有趣嘅課題之一：數列同級數嘅溫習筆記！唔使擔心，呢個課題聽落可能好複雜，但其實都係關於點樣去辨識同埋運用數字裡面嘅規律。你睇吓，無論係花瓣嘅排列定係你嘅儲蓄戶口結餘，規律都無處不在㗎！
呢一章，我哋會探討兩種主要嘅數列：
- 等差數列 (Arithmetic Sequences)：每次都係加同一個數值。(諗吓：穩定、持續嘅變化)。
- 等比數列 (Geometric Sequences)：每次都係乘同一個數值。(諗吓：迅速增長或衰減)。
明白咗呢啲概念，可以幫你預測未來數值、計算累積總數，仲可以應付好多現實生活中嘅問題添！事不宜遲，我哋開始啦！
第一部分：等差數列 (AS)
咩係等差數列？
一個等差數列 (或稱 AS) 係一串數字，其中任何兩個連續項之間嘅差都係常數。就係咁簡單！我哋只係不斷咁加減同一個數字。
類比：想像你行緊一條樓梯，每級樓梯都係完全一樣嘅高度。每級嘅高度就係你嘅公差！
任何等差數列都有兩個重要嘅「主角」：
- 首項 (a)：呢個係數列嘅起點，即係我哋開始嘅數字。
- 公差 (d)：呢個係一個固定數字，我哋每次都加佢嚟得到下一項。公差可以係正數、負數，甚至係分數都得㗎！
要搵公差，只係需要將任何一項減去佢前一個項。例如，`第二項 - 第一項`。
例子：
- 數列：3, 7, 11, 15, ...
首項 (a) = 3
公差 (d) = 7 - 3 = 4。我哋每次都加 4。 - 數列：20, 18, 16, 14, ...
首項 (a) = 20
公差 (d) = 18 - 20 = -2。我哋每次都加 -2 (或者減 2)。
通項公式：搵出任何一項 (T_n)
如果你要搵第50項點算？你唔會想寫晒50個數字出嚟㗎嘛！所以，我哋有個公式可以搵出通項，通常叫做 `T_n` 或者 `T(n)`，佢代表咗第 n 個位置嘅項。
等我哋用邏輯推理吓：
- 第 1 項: `T(1) = a`
- 第 2 項: `T(2) = a + d`
- 第 3 項: `T(3) = a + d + d = a + 2d`
- 第 4 項: `T(4) = a + 3d`
睇到個規律未？對於第 n 項，我哋會加公差 `(n-1)` 次。咁就得出等差數列最重要嘅公式啦：
等差數列通項公式 (AS)
$$ T(n) = a + (n-1)d $$逐步示範：
搵出數列 5, 8, 11, ... 嘅第30項。
- 識別 a 同 d。
首項係 5，所以 `a = 5`。
公差係 8 - 5 = 3，所以 `d = 3`。 - 識別 n。
我哋想搵第30項，所以 `n = 30`。 - 代入公式。
`T(30) = a + (30-1)d`
`T(30) = 5 + (29)(3)`
`T(30) = 5 + 87`
`T(30) = 92`
所以，第30項係 92。好易㗎嘛，係咪？
等差數列之和：搵出總和 (S_n)
有時我哋需要將一個數列裡面嘅項加埋一齊。呢個就叫做求和或者級數。首 `n` 項之和叫做 `S_n` 或者 `S(n)`。
你知唔知？
一位著名嘅數學家卡爾·弗里德里希·高斯，據講佢細個嗰陣，幾秒鐘之內就計出咗由 1 加到 100 嘅總和！佢將第一個數同最後一個數配對 (1+100=101)，第二個數同倒數第二個數配對 (2+99=101)，佢發現總共有 50 對咁嘅組合。50 × 101 = 5050。呢個就係我哋第一個求和公式背後嘅邏輯！
我哋有兩個好方便嘅公式。用邊個就睇你手頭上有咩資料。
等差數列求和公式 (AS)
1. 如果你知首項同末項：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a + l) $$其中 `l` 係末項，即係 `T(n)`。
2. 如果你知首項同公差 (最常用)：
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$逐步示範：
搵出數列 2, 6, 10, 14, ... 嘅首20項之和。
- 識別 a、d 同 n。
`a = 2`
`d = 6 - 2 = 4`
`n = 20` - 選擇啱嘅公式。
我哋有 `a`、`d` 同 `n`，所以第二個公式最適合。 - 代入公式。
`S(20) = \frac{20}{2}[2(2) + (20-1)(4)]`
`S(20) = 10[4 + (19)(4)]`
`S(20) = 10[4 + 76]`
`S(20) = 10[80]`
`S(20) = 800`
首20項之和係 800。
重點提示：等差數列
等差數列涉及重複地加上一個常數值 (`d`)。
- 搵任何一項： `$$ T(n) = a + (n-1)d $$`
- 搵各項之和： `$$ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$`
第二部分：等比數列 (GS)
咩係等比數列？
一個等比數列 (或稱 GS) 係一串數字，你透過乘以一個常數值嚟得到下一項。呢個值可以令數列好快咁增長，或者快速咁衰減到接近零。
類比：想像一個特別嘅彈力球。每次彈起後，佢只會達到之前高度嘅某個百分比 (例如，80%)。呢個百分比就係常數乘數！
等比數列嘅兩個關鍵「主角」係：
- 首項 (a)：同之前一樣，係我哋嘅起始值。
- 公比 (r)：呢個係一個固定數字，我哋每次都乘佢嚟得到下一項。
要搵公比，只係需要將任何一項除以佢前一個項。例如，`第二項 / 第一項`。
例子：
- 數列：3, 6, 12, 24, ...
首項 (a) = 3
公比 (r) = 6 / 3 = 2。我哋每次都乘 2。 - 數列：100, 50, 25, 12.5, ...
首項 (a) = 100
公比 (r) = 50 / 100 = 0.5。我哋每次都乘 0.5 (或者除以 2)。
通項公式：搵出任何一項 (T_n)
同等差數列一樣，我哋需要一個公式嚟搵出任何一項 `T(n)` 而唔使寫晒佢哋出嚟。等我哋睇吓個規律：
- 第 1 項: `T(1) = a`
- 第 2 項: `T(2) = a \times r = ar^1`
- 第 3 項: `T(3) = a \times r \times r = ar^2`
- 第 4 項: `T(4) = ar^3`
個規律就係 `r` 嘅次方永遠比項數 `n` 少一。咁就得出等比數列嘅通項公式啦：
等比數列通項公式 (GS)
$$ T(n) = ar^{n-1} $$常見錯誤警示！
公式係 `ar^(n-1)`，而唔係 `(ar)^(n-1)`。記住你嘅運算次序法則 (BIDMAS/PEDMAS) - 你必須先計算次方部分 (`r^(n-1)`)，然後再乘以 `a`。
逐步示範：
搵出數列 5, 15, 45, ... 嘅第7項。
- 識別 a 同 r。
首項係 5，所以 `a = 5`。
公比係 15 / 5 = 3，所以 `r = 3`。 - 識別 n。
我哋想搵第7項，所以 `n = 7`。 - 代入公式。
`T(7) = a r^(7-1)`
`T(7) = 5 \times 3^6`
`T(7) = 5 \times 729`
`T(7) = 3645`
所以，第7項係 3645。
有限等比數列之和 (S_n)
而家，等我哋將一個等比數列嘅首 `n` 項加埋一齊。呢個對於涉及複利息或者特定時期內投資嘅問題都非常有用㗎！
等比數列求和公式 (GS)
只有一個主要公式，但我哋會用兩種寫法，方便計算 (尤其係避免負數)。
$$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \quad \text{或} \quad S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} $$小貼士：當 `|r| > 1` 時用第一個版本，當 `|r| < 1` 時用第二個版本。佢哋會得出相同嘅答案㗎！
逐步示範：
搵出數列 2, 8, 32, ... 嘅首8項之和。
- 識別 a、r 同 n。
`a = 2`
`r = 8 / 2 = 4`
`n = 8` - 選擇最佳公式版本。
由於 `r = 4` (大於 1)，我哋用第一個版本嚟確保分母係正數。 - 代入公式。
`S(8) = \frac{2(4^8 - 1)}{4 - 1}`
`S(8) = \frac{2(65536 - 1)}{3}`
`S(8) = \frac{2(65535)}{3}`
`S(8) = \frac{131070}{3}`
`S(8) = 43690`
首8項之和係 43690。
無限項之和：加到永遠 (S_∞)
呢個係一個好正嘅概念嚟！如果你將一個等比數列嘅項加到... 永遠，會發生咩事呢？你可能會覺得總和會係無限大。但對於某啲數列嚟講，個總和其實係一個有限嘅數字㗎！
類比：想像你向住一幅牆行。首先你行咗一半距離。然後你再行淨低距離嘅一半。之後再行剩低嘅一半，如此類推。你將會無限咁接近幅牆，但你行過嘅總距離永遠唔會超過你最初同幅牆之間嘅距離。你嘅總距離會「收斂」到一個單一嘅值。
呢個只會喺一個非常重要嘅條件下先成立：
無限項之和存在嘅條件係 `$$ -1 < r < 1 $$` (或 `$$|r| < 1$$`)。
如果公比 `r` 介乎於 -1 同 1 之間 (但不包括 0)，每項都會變得愈嚟愈細，所以個總和就會接近一個固定嘅極限。
無限項之和公式
當條件符合時，個公式出奇地簡單：
$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} $$逐步示範：
搵出數列 18, 6, 2, ... 嘅無限項之和。
- 識別 a 同 r。
`a = 18`
`r = 6 / 18 = 1/3` - 檢查條件。
`$$ -1 < r < 1 $$` 係咪成立？係，`$$ -1 < 1/3 < 1 $$`。所以，無限項之和存在。 - 代入公式。
`S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}`
`S_{\infty} = \frac{18}{1 - 1/3}`
`S_{\infty} = \frac{18}{2/3}`
`S_{\infty} = 18 \times \frac{3}{2}`
`S_{\infty} = 27`
如果你將呢個數列嘅所有項加到永遠，總和將會係精確嘅 27。
重點提示：等比數列
等比數列涉及重複地乘以一個常數值 (`r`)。
- 搵任何一項： `$$ T(n) = ar^{n-1} $$`
- 搵 n 項之和： `$$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} $$`
- 搵無限項之和 (只適用於 `|r|<1`)： `$$ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} $$`
第三部分：真實應用問題
呢個就係將所有嘢結合起嚟嘅地方啦！關鍵係要仔細閱讀問題，然後判斷個情境係屬於等差數列定係等比數列。
- 係咪有一個固定嘅數額被加或者減？ -> 等差數列
- 數值係咪以一個固定嘅百分比或者乘數嚟改變？ -> 等比數列
例子 1：薪金計劃 (等差數列)
Connie 開始一份新工作，年薪係 $300,000。佢公司承諾每年固定加薪 $15,000。如果佢工作 8 年，佢嘅總收入將會係幾多？
思考過程：
- 「固定年薪增長」即係每年都加同一個數額。呢個係一個等差數列 (AS)。
- 識別關鍵值：`a = 300000`，`d = 15000`。
- 我哋想搵工作 8 年後嘅「總收入」，所以需要求和 `S_n`，其中 `n = 8`。
- 使用等差數列嘅求和公式：`S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]`
- `S(8) = \frac{8}{2}[2(300000) + (8-1)(15000)]`
- `S(8) = 4[600000 + (7)(15000)]`
- `S(8) = 4[600000 + 105000]`
- `S(8) = 4[705000] = 2820000`
答案： Connie 工作 8 年後嘅總收入將會係 $2,820,000。
例子 2：汽車折舊 (等比數列)
一架新車價值 $250,000。佢每年貶值 20%。5 年後呢架車嘅價值係幾多？
思考過程：
- 「貶值 20%」即係每年價值被一個百分比相乘。呢個係一個等比數列 (GS)。
- 識別關鍵值：`a = 250000`。
- 小心 `r`！如果價值損失咗 20%，即係佢保留咗 80% 嘅價值。所以，`r = 1 - 0.20 = 0.80`。
- 我哋想搵「5 年後」嘅價值。呢個係一個常見嘅陷阱。`T(1)` 係初始價值 (0 年後)。`T(2)` 係 1 年後嘅價值。所以，5 年後嘅價值係第 6 項，即係 `T(6)`。因此，`n = 6`。
- 使用等比數列嘅通項公式：`T(n) = ar^(n-1)`
- `T(6) = 250000 \times (0.8)^{6-1}`
- `T(6) = 250000 \times (0.8)^5`
- `T(6) = 250000 \times 0.32768 = 81920`
答案： 5 年後呢架車嘅價值係 $81,920。
今次就講到呢度啦！掌握數列嘅關鍵就係多練習。仔細閱讀問題，判斷數列類型，搵出你嘅 `a`、`d` 或者 `r`，然後選擇啱嘅公式。你一定得㗎！