指數函數與對數函數：終極溫習指南！
各位同學好！歡迎來到指數函數與對數函數的奇妙世界。聽起來名稱似乎有些嚇人？不用擔心！學完這份指南，你就會發現它們其實是一體兩面，而且在理解地震震級、儲蓄戶口存款增長等方面都非常有用！
在這一章，我們會幫助你將對冪（指數）的理解提升到更高層次，然後就會認識它們的「逆函數」——對數。快點開始吧！
第一部分：指數函數 —— 冪的威力
你之前都見過冪了，好似 $$3^2 = 9$$。指數函數就是將變數放在冪的位置，例如 $$y = 2^x$$。正是因為如此，事物才會增長（或衰減）得非常快速！
快速重溫：你已知的概念
還記得初中學過這些關鍵法則嗎？它們是之後所有內容的基礎！
- 正指數： $$a^n = a \times a \times ... \times a$$ (n個 'a' 相乘)
- 零指數： $$a^0 = 1$$ (任何非零 'a' 的情況下)
- 負指數： $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$ (即是「將它倒轉」！)
新技能解鎖：有理指數（分數冪！）
如果冪是分數那該怎麼辦？看起來可能很奇怪，但其實比你想像中簡單。這全部都與開方有關！
1. 「開方」冪：$$a^{\frac{1}{n}}$$
一個 $$ \frac{1}{n} $$ 的冪，意思就是n次方根。
你可以這樣想：將一個數開平方根，與將它平方是相反的運算。所以，一個2的冪，可以用1/2的冪來抵消！
公式： $$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$
例子：
- $$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$$
- $$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$$
2. 「冪與開方」組合：$$a^{\frac{m}{n}}$$
這只是兩種概念的結合。底部的數字（n）是開方數，而頂部的數字（m）就是冪。你可以按任何次序來運算！
公式： $$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{(a^m)}$$
例子：讓我們計算 $$27^{\frac{2}{3}}$$
- 方法一（先開方，後取冪）： $$ (\sqrt[3]{27})^2 = (3)^2 = 9 $$
- 方法二（先取冪，後開方）： $$ \sqrt[3]{(27^2)} = \sqrt[3]{729} = 9 $$
小提示：通常都是先開方會比較容易，這樣可以讓數字保持小一些。
重要規則提醒你！
在你DSE課程中的有理指數，底數 'a' 必須是正實數 ($$a > 0$$)。這些定律對於負數底數不是那麼可靠，所以我們會避免使用它們。
指數定律（它們依然適用！）
好消息是，你之前學過的所有指數定律，對於分數冪都完全適用。以下是一個快速重溫：
快速重溫：有理指數定律
設 p 與 q 為有理數，a 與 b 為正實數。
- 乘法定律： $$a^p \times a^q = a^{p+q}$$
例子： $$x^2 \times x^{\frac{1}{2}} = x^{2+\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$$ - 除法定律： $$\frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$$
例子： $$\frac{5^3}{5^{3.5}} = 5^{3-3.5} = 5^{-0.5} = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$$ - 冪的冪定律： $$(a^p)^q = a^{pq}$$
例子： $$(x^{\frac{1}{3}})^6 = x^{\frac{1}{3} \times 6} = x^2$$ - 積的冪定律： $$(ab)^p = a^p b^p$$
例子： $$(4x)^2 = 4^2 x^2 = 16x^2$$ - 商的冪定律： $$(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$$
例子： $$(\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \frac{8^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3}$$
指數函數的圖像 ($$y=a^x$$)
指數函數的圖像訴說著一個關於快速變化的故事。它主要有兩種情況。
情況一：增長 ($$a > 1$$)
例子：$$y=2^x$$
當 'x' 增加時，'y' 會增長得越來越快。這就叫做指數增長。試想細菌每小時數目翻倍的情況。
- 它一定會經過點 (0, 1)，因為 $$a^0=1$$。
- 它一定在 x軸上方（y值恆為正數）。
- 它在右邊會變得非常陡峭，而在左邊則會變得非常平坦（接近零）。
情況二：衰減 ($$0 < a < 1$$)
例子：$$y=(\frac{1}{2})^x$$
當 'x' 增加時，'y' 會越來越小，並趨近零。這就是指數衰減。試想放射性物質隨時間衰減放射性的情況。
- 它也一定會經過點 (0, 1)。
- 它也一定在 x軸上方。
- 它是增長圖像沿著 y軸的鏡像。
重點回顧：指數函數
- 分數冪代表開方：$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$。
- 所有舊的指數定律仍然適用。
- 底數 'a' 必須是正數 ($$a>0$$)。
- $$y=a^x$$ 的圖像一定經過 (0, 1) 並且永遠在正數範圍。
第二部分：對數函數 —— 「是什麼冪次？」的問題
好，轉個彎，談談另一個概念。如果我告訴你 $$2^x = 8$$，你可以很輕易地算出 $$x=3$$。對數（或者簡稱「log」）就是我們用來正式問這個問題的工具。
問題：「我要將底數提升到什麼冪次，才會得到這個數？」
答案：就是對數！
對數的定義
這是本章最重要的概念。它是指數與對數之間的聯繫。
如果 $$y = a^x$$，那我們就可以寫成 $$x = \log_a y$$。
讓我們逐一解釋：
- a 是底數。
- y 是我們要取對數的數字（叫做真數）。
- x 就是答案，亦即是我們一直在尋找的冪次。
記憶小提示：對數循環！
要將 $$ \log_a y = x $$ 轉換成指數形式，由底數 'a' 開始，繞圈到 'x'，然後以 'y' 結束。這就顯示出 $$ a^x = y $$。
例子：將 $$ \log_2 8 = 3 $$ 轉換成指數形式。
由底數 2 開始，繞到 3，再到 8。所以，$$2^3 = 8$$。正確！
重要條件提醒你！
就好像指數一樣，對數也有它的數字限制規則：
- 底數 a 必須是正數且不等於 1 ($$a > 0$$ 且 $$a \neq 1$$)。
- 真數 y 必須是正數 ($$y > 0$$)。你不能對零或者負數取對數！
對數定律
對數也有它的定律，就好像指數定律的「鏡像」一樣。它們可以幫助我們簡化表達式和解方程。
快速重溫：對數定律
對於 M, N > 0，a > 0 且 a ≠ 1：
- 積的對數定律： $$ \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N $$
（積的對數等於各個數的對數之和） - 商的對數定律： $$ \log_a (\frac{M}{N}) = \log_a M - \log_a N $$
（商的對數等於被除數的對數減去除數的對數） - 冪的對數定律： $$ \log_a (M^k) = k \log_a M $$
（對數裡面的冪可以提出來作為乘數。這條非常有用！）
以及兩個來自定義的特殊結果：
- $$ \log_a 1 = 0 $$ (因為 $$ a^0 = 1 $$)
- $$ \log_a a = 1 $$ (因為 $$ a^1 = a $$)
切記避免的常見錯誤！
請，請你們一定要記住：
$$ \log_a (M+N) $$ 並不是 $$ \log_a M + \log_a N $$
$$ \log_a (M-N) $$ 並不是 $$ \log_a M - \log_a N $$
這些定律只適用於對數裡面的乘法與除法！
終極工具：換底公式
你的計算機有個「log」鍵，但那個是底數 10 的對數 ($$\log_{10}$$)。如果需要尋找 $$\log_2 7$$ 那該怎麼辦？你就要用換底公式了！
公式： $$ \log_b N = \frac{\log_a N}{\log_a b} $$
簡單來說，想尋找一個「奇怪」底數（例如底數 'b'）的對數，你可以用任何你喜歡的「常用」底數 'a'（例如你計算機上的底數 10！）來，將數字的對數除以底數的對數。
例子：用計算機尋找 $$\log_2 7$$。
我們想尋找底數 2 的對數，但是我們的計算機只有底數 10。所以我們就要換底：
$$ \log_2 7 = \frac{\log_{10} 7}{\log_{10} 2} = \frac{\log 7}{\log 2} $$
現在，在你的計算機上輸入：`log(7) ÷ log(2) =` 你就會得到大約 2.81。
對數函數的圖像 ($$y=\log_a x$$)
對數函數的圖像是指數函數圖像沿著直線 $$y=x$$ 的反射。
情況一：$$a > 1$$ (例如：$$y=\log_2 x$$)
- 它一定會經過點 (1, 0)。
- 它只會在 'x' 是正數時存在（它永遠不會接觸或穿過 y軸）。
- 它會增長，但比指數函數慢很多。
情況二：$$0 < a < 1$$ (例如：$$y=\log_{\frac{1}{2}} x$$)
- 它也經過 (1, 0) 並且只會在 $$x>0$$ 時存在。
- 它是一個遞減函數。
重點回顧：對數函數
- 對數解答「是什麼冪次？」的問題。
- 關鍵關係：$$ y=a^x \iff x=\log_a y $$。
- 記住三大定律：積的對數定律、商的對數定律與冪的對數定律。
- 使用換底公式來配合你的計算機運算。
- $$y=\log_a x$$ 的圖像一定經過 (1, 0) 並且只會在 $$x>0$$ 時存在。
第三部分：融會貫通 —— 解方程
現在我們會運用所有這些新技能來解方程。策略就是利用我們學過的法則去孤立變數 'x'。
解指數方程
我們現在有一個強大的新方法，就是利用對數。
例子：解 $$2^x = 5$$
'x' 困在冪的位置。我們要將它「拉」下來！對數的冪的對數定律就最適合用了。
- 兩邊取對數。最好用你計算機上的底數 10 對數（'log'）。
$$ \log(2^x) = \log(5) $$ - 使用冪的對數定律將 'x' 提出來。
$$ x \log(2) = \log(5) $$ - 解出 x。記住，$$\log(2)$$ 與 $$\log(5)$$ 都只是數字。
$$ x = \frac{\log 5}{\log 2} $$ - 用你的計算機算出最終答案。
$$ x \approx 1.63 $$
解對數方程
主要目標是要「清除」那些對數。有幾種方法可以做到這件事。
例子一：單一對數等於一個數
解 $$ \log_3(x+4) = 2 $$
- 用「對數循環」轉換成指數形式。
$$ x+4 = 3^2 $$ - 解方程。
$$ x+4 = 9 $$
$$ x = 5 $$ - 檢查你的答案！這非常重要。對數的真數必須是正數。
檢查：在原方程中，真數是 (x+4)。如果 x=5，那麼 5+4=9，是正數。所以答案有效！
例子二：先合併對數
解 $$ \log(x+1) + \log(x-1) = \log 3 $$ （注意：無寫底數的 'log' 代表底數為 10）
- 使用對數定律將左邊合併成一個單一對數。「+」表示我們使用積的對數定律。
$$ \log((x+1)(x-1)) = \log 3 $$ - 使真數相等。如果 $$\log A = \log B$$，那麼 A 必定等於 B。
$$ (x+1)(x-1) = 3 $$ - 解結果方程。這會變成一個二次方程！
$$ x^2 - 1 = 3 $$
$$ x^2 = 4 $$
$$ x = 2 $$ 或 $$ x = -2 $$ - 檢查兩個答案！
- 檢查 x=2： 在原方程中，我們有 $$\log(2+1)=\log(3)$$ 與 $$\log(2-1)=\log(1)$$。兩個真數 (3 和 1) 都是正數。所以，$$x=2$$ 是一個有效解。
- 檢查 x=-2： 在原方程中，我們會得到 $$\log(-2+1)=\log(-1)$$。我們不能對負數取對數！所以，我們必須捨去 $$x=-2$$。
唯一的解是 $$x=2$$。看看檢查有多重要呢？
重點回顧：解方程
- 要解 $$a^x=b$$，就對兩邊取對數並使用冪的對數定律。
- 要解對數方程，嘗試令兩邊都只得單一對數，或者轉換成指數形式。
- 永遠，永遠，永遠都要檢查你對對數方程的答案，確保你不是對負數或零取對數。
第四部分：融會貫通 —— 現實世界的應用與宏觀視角
你可能好奇：「我什麼時候會用到這些東西？」答案是：有很多機會用到！這些概念描述了世界如何運作。
為什麼我們要關注？現實生活應用
- 里氏震級（地震）：這是一個對數標度。6級地震的威力比5級地震大10倍，比4級地震大100倍。對數可以幫助我們以簡單的方式處理這些巨大的差異。
- 分貝（聲音）：聲音強度也是用對數標度來量度。70分貝的聲音（吸塵機）能量比60分貝的聲音（對話）大10倍。
- 金融（複利息）：你銀行戶口的存款，就是多虧複利息而以指數方式增長。
你不需要背熟這些公式，但能夠欣賞對數如何使大數字變得易於處理，已經很好。
你知道嗎？小歷史教室
在計算機發明之前，科學家如何乘數值巨大的數字，好似 5,182.7 × 9,456.3 這樣呢？那時又慢又難！
在17世紀，一位數學家約翰·納皮爾（John Napier）發明了對數。利用定律 $$ \log(MN) = \log M + \log N $$，他意識到可以將任何困難的乘法問題變成簡單的加法問題！人們會在一本厚厚的對數表中查找兩個數字的對數，將它們相加，然後再找回對應那個和的數字。這個發明徹底改變了科學與工程界300年，直到計算機的出現才取代它。
章節總結：你沒問題的！
完成了！看起來可能有很多內容，但其實都歸結於幾個核心概念。
- 指數函數 ($$y=a^x$$) 關乎快速增長或衰減。它們的關鍵是指數定律。
- 對數函數 ($$y=\log_a x$$) 是它們的「逆函數」，提出「是什麼冪次？」的問題。它們的關鍵是對數定律。
- 兩者之間的連結是 $$y=a^x \iff x=\log_a y$$。務必掌握這種轉換。
- 解方程時，使用定律去孤立 'x'，以及永遠檢查你的對數解！
多加練習這些概念，你很快就會成為高手。祝你好運！