歡迎來到圓形嘅世界！
各位同學好！準備好深入探索幾何學中最重要嘅圖形之一——圓形未呢？圓形真係無處不在，由巴士嘅車轆到我哋最鍾意食嘅薄餅都係圓形㗎！喺呢個章節，我哋會一齊探索圓形嘅基本定律同埋性質，了解點解圓形咁特別又咁有規律。掌握呢啲基本知識會俾你一個強大嘅工具，去解決各種幾何問題。就算一開始覺得內容好多都唔使擔心，我哋會一步一步拆解㗎！我哋開始啦！
第一部分：圓形嘅結構 (快速溫習)
喺我哋跳入圓形嘅精彩性質之前，不如先溫習一下圓形嘅基本構造，確保大家用緊同一套術語啦！以下係任何圓形嘅基本組成部分：
- 圓心 (Centre)： 位於圓形正中央嘅點。
- 半徑 (Radius, r)： 由圓心到圓周上任何一點嘅距離。
- 直徑 (Diameter, d)： 一條穿過圓心，連接圓周上兩點嘅直線。佢永遠都係半徑嘅兩倍 ($$d = 2r$$)。
- 圓周 (Circumference)： 圓形外圍嘅總長度。
- 弦 (Chord)： 一條連接圓周上任何兩點嘅直線。直徑就係最長嘅弦嚟㗎！
- 弧 (Arc)： 圓周嘅一部分。
- 弓形 (Segment)： 由一條弦同埋一段弧所圍成嘅區域。
第二部分：弦同弧嘅性質
弦同弧之間有著非常密切嘅關係。你可以想像佢哋係好朋友——其中一方有咩變化，另一方通常都會有規律地受到影響。以下係佢哋嘅主要性質。
1. 「相等」關係
呢個關係好直接：如果你有兩條等長嘅弦，佢哋「截取」出嚟嘅弧都一定會等長。反過嚟講都係啱嘅！
- 如果弦 AB = 弦 CD，咁弧 AB = 弧 CD。(原因：等弦，等弧)
- 如果弧 AB = 弧 CD，咁弦 AB = 弦 CD。(原因：等弧，等弦)
2. 垂直定律 (非常重要！)
呢啲性質都圍繞住一條由圓心畫出嚟，並垂直 ($$90^\circ$$) 於弦嘅直線。
- 圓心至弦的垂直線平分弦： 如果一條由圓心發出嘅直線以直角（$$90^\circ$$）碰到一條弦，佢會將條弦一分為二。
想像一下，就好似圓心使出「空手道劈斬」，將條弦完美劈開兩半。
(原因：圓心至弦的垂直線平分弦)
- 圓心至弦中點的線垂直弦： 如果一條直線由圓心畫到一條弦嘅正中間，咁條線就一定會垂直 ($$90^\circ$$) 於條弦。
呢個就係第一個定律嘅逆向講法嚟㗎！
(原因：圓心至弦中點的線垂直弦)
- 弦的垂直平分線過圓心： 如果你畫一條線，佢以完美嘅 $$90^\circ$$ 角將一條弦平分（即係垂直平分線），咁條線就保證一定會穿過圓心。
呢個對於只得一條弦去搵圓心嘅題目嚟講，係超級有用㗎！
(原因：弦的垂直平分線過圓心)
3. 「與圓心嘅距離」定律
呢個性質將弦嘅長度同佢同圓心嘅距離連繫埋一齊。
- 等弦，等距圓心： 等長嘅弦會同圓心有相同嘅距離。
(原因：等弦，等距圓心)
- 等距圓心的弦相等： 同圓心有相同距離嘅弦，佢哋嘅長度會相等。
(原因：等距圓心的弦相等)
類比時間！
想像一下圓心係一個營火。長啲嘅弦（大啲嘅木頭）可以靠近營火啲，而短啲嘅弦（細啲嘅樹枝）就必須離遠啲。如果兩嚿木頭一樣大細，佢哋就會同營火有相同嘅距離。
弦同弧嘅重點歸納
總括嚟講，都係關係為主：等弦 ⇔ 等弧、圓心嘅垂直線 ⇔ 平分弦，同埋等弦 ⇔ 等距圓心。
第三部分：圓形嘅角性質
呢度就係圓形最有趣嘅地方啦！喺圓形裡面形成嘅角，都會跟隨一啲非常嚴謹而有用嘅規則。
1. 圓心角兩倍於圓周角
呢個係角度嘅核心定律。如果一個弧喺圓心對向（或「張出」）一個角，又喺圓周上其餘任何一點對向另一個角，咁圓心嘅角永遠都會係圓周角嘅兩倍。
(原因：圓心角兩倍於圓周角)
小貼士： 記住要檢查清楚，兩個角係咪由圓周上相同嘅兩點開始同埋結束㗎！
2. 同弓形內的圓周角相等
如果一條弦形成一個弓形，咁喺呢個弓形裡面，任何由弦嘅端點開始同結束嘅角都會係一樣嘅。
(原因：同弓形內的圓周角)
類比時間！
你可以將佢想像成「弓箭定律」。弦就係弓弦。無論你點樣拉弓（即係弧），弓同弦之間嘅夾角喺任何一點都係一樣嘅。
3. 弧長與圓周角成比例
呢個性質都幾直觀。弧愈大，佢喺圓周上形成嘅角就愈大。如果一個弧嘅長度係另一個弧嘅兩倍，咁佢對向嘅角都會係兩倍大。
如果弧 AB = 2 × 弧 CD，咁 ∠AEB = 2 × ∠CFD。
(原因：弧長與圓周角成比例)
4. 半圓上的圓周角是直角 ($$90^\circ$$)
呢個係「圓心角兩倍於圓周角」定律嘅一個特殊情況。直徑係一條穿過圓心嘅弦。佢喺圓心形成嘅角係一條直線，即係 $$180^\circ$$。因此，佢喺圓周上對向嘅任何角都必須係佢嘅一半：$$180^\circ \div 2 = 90^\circ$$。
任何以直徑為底邊所形成嘅角，都必定係直角。
(原因：半圓上的圓周角)
反過嚟講都係啱嘅：如果圓周上嘅一個角係 $$90^\circ$$，咁形成呢個角嘅弦就一定係直徑。
(原因：半圓上的圓周角逆定理)
角度嘅重點歸納
記住三大定律：圓心角 = 2 × 圓周角、同弓形內的圓周角相等，同埋特殊情況：半圓上的圓周角 = 90°。
第四部分：圓內接四邊形
咩係圓內接四邊形？佢只不過係一個四邊形，而佢嘅四個頂點都喺圓周上。
1. 對角互補
喺任何圓內接四邊形裡面，互相對面嘅角加埋永遠都會係 $$180^\circ$$。
$$ \angle A + \angle C = 180^\circ $$
$$ \angle B + \angle D = 180^\circ $$
(原因：圓內接四邊形對角)
常見錯誤： 唔好同平行四邊形搞亂呀，平行四邊形係對角相等㗎嘛！圓內接四邊形係加埋等於 180° 㗎！
2. 外角等於內對角
如果你將圓內接四邊形其中一條邊延長，咁你所形成嘅「外角」就會等於對面內角嘅大小。
(原因：圓內接四邊形外角)
圓內接四邊形嘅重點歸納
只需要記住兩個主要定律：對角加埋等於 180°，以及外角等於內對角。
第五部分：進階性質 (非基礎課題)
注意！ 以下嘅課題屬於非基礎課程嘅一部分。佢哋係解決更複雜問題嘅強大工具。
1. 如何證明多點共圓
有時，題目會要求你證明四點共圓（即係佢哋位於同一個圓上）。要做到呢點，你就要用到我哋剛才學過嘅性質嘅逆定理。
- 同弓形內圓周角逆定理： 如果連接兩點嘅線段，喺線嘅同側對另外兩點產生相等嘅角，咁呢四點就係共圓嘅。
(原因：同弓形內圓周角逆定理)
- 對角互補： 如果一個四邊形嘅對角加埋係 $$180^\circ$$，咁佢就係一個圓內接四邊形。
(原因：對角互補)
- 外角等於內對角： 如果一個四邊形嘅外角等於佢嘅內對角，咁佢就係一個圓內接四邊形。
(原因：外角等於內對角)
2. 切線嘅性質
切線係一條只喺圓形上一點（「切點」）接觸圓形嘅直線。
- 切線垂直半徑： 切線喺切點永遠都垂直 ($$90^\circ$$) 於半徑。
(原因：切線垂直半徑)
- 由外點引出的切線 (雪糕筒定律)： 如果你由同一個圓外點畫兩條切線到圓形：
1. 兩條切線段嘅長度相等 (PA = PB)。
2. 兩條切線喺圓心對向相等嘅角 (∠POA = ∠POB)。
3. 連接該點同圓心嘅線會平分兩條切線之間嘅角 (∠APO = ∠BPO)。
(原因：切線性質) 或 (由外點引出的切線)
- 弦切角： 呢個係一個有啲難，但係好強大嘅性質！切線同喺切點經過嘅弦之間嘅夾角，會等於對面弓形裡面嘅圓周角。
(原因：弦切角)
3. 簡單幾何證明
呢度就係你要成為數學偵探嘅時候啦！證明就係要用你學過嘅性質，一步一步邏輯推導嚟證明某啲嘢係真確嘅。關鍵係每一步都要寫清楚你嘅原因。
證明例子：
問題：圖中，O 為圓心。AB 為弦，直線 PC 為圓於 C 的切線。如果 ∠ABC = 30°，證明 AC 垂直於 BC。
步驟 1： 搵出 ∠AOC。
∠AOC = 2 × ∠ABC (原因：圓心角兩倍於圓周角)
∠AOC = 2 × 30° = 60°
步驟 2： OA = OC (原因：半徑)
所以，△AOC 係等腰三角形。
步驟 3： ∠OAC = ∠OCA (原因：等腰三角形底角)
∠OAC = (180° - 60°) / 2 = 60°
所以，△AOC 係等邊三角形。AC = OA = OC。
步驟 4： 由於 OA 係半徑，而 AC = OA，所以 AC 都一定係半徑。AB 係一條穿過圓心嘅弦，所以佢係直徑。
步驟 5： ∠ACB = 90° (原因：半圓上的圓周角)
因此，AC 垂直於 BC。證畢。 (意思係「所欲證明」)
你知唔知道？
喺數學上，「圓周角」嘅標準簡寫係 ∠ at ⨀ce，其中 ⨀ 就係圓形嘅符號。喺考試用呢啲簡寫可以慳好多時間㗎！
恭喜你，你已經學晒圓形嘅核心性質啦！練習係關鍵，所以記得嘗試將呢啲定律應用喺唔同嘅題目度。時間耐咗，你就會自動見到啲規律㗎啦。祝你好運！