圓的方程：你的學習攻略大全
各位同學好！歡迎來到「圓的方程」學習筆記。你看看身邊，從巴士的車輪到美味的薄餅（Pizza），圓形可謂無處不在！但你又知不知道，原來我們可以利用代數來描述這些完美的形狀？沒錯，這個課題就是關於這個啦！
我們會學習如何在坐標平面上寫出任何圓形的「地址」、找出直線與圓形相交的位置，並解決一些有趣的應用題。明白這個課題，不僅對考試超級有用，在全球定位系統（GPS）、電腦圖像（Computer Graphics）和設計等範疇也大派用場呢！事不宜遲，立即開始吧！
第一部分：圓形的神秘身份——它的方程
每個圓形都有一個獨特的方程，就像你擁有一張獨一無二的身份證一樣。這個方程會告訴我們兩個非常重要的資訊：它的圓心在哪裡，以及它的半徑有多大。
1.1 標準式：一目了然的版本
想像一下，圓形就是由一群點組成，而這些點與某個中心點的距離都相同。這個距離就是半徑，那個中心點就是圓心。要把這個概念轉化為方程，我們只需要一個老朋友來幫忙：距離公式！
前備知識重溫：距離公式
兩點 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之間的距離 `d` 是：
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$現在，假設一個圓形的圓心在 (h, k)，半徑是 r。如果我們在圓周上任意選取一個點 (x, y)，那麼 (x, y) 和 (h, k) 之間的距離必定是 `r`。利用距離公式，我們得到：
$$\sqrt{(x - h)^2 + (y - k)^2} = r$$為了解除根號（開方），我們將兩邊同時平方。這就得到了圓形方程的標準式：
$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$如何使用標準式：
- (h, k) 是圓心的坐標。
- r 是半徑的長度。
記憶小貼士與常見錯誤：
留意減號：(x - h) 和 (y - k)。這代表圓心的坐標是你在括號內看到的相反數！
例子：如果方程是 (x - 3)² + (y + 5)² = 16...
- 圓心是 (3, -5)，而不是 (-3, 5)。
- 半徑是 $$\sqrt{16} = 4$$，而不是 16。別忘了開平方！
來試個例子吧：
求出圓心在 (2, -1)、半徑為 3 的圓形方程。
步驟一：找出 h、k 和 r。
這裡，h = 2，k = -1，r = 3。
步驟二：將這些數值代入標準式方程：$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$
$$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 3^2$$
步驟三：簡化方程。
$$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$$
就這樣！你已經寫出了這個圓形的方程。
標準式的學習重點：
標準式是找出圓心和半徑的最佳幫手。只要記住注意圓心的符號，並為半徑取開方即可。
1.2 一般式：隱藏真身的版本
有時候，圓形的方程會被展開，看起來有點混亂。這就是所謂的一般式。它雖然有用，但卻隱藏了圓心和半徑。別擔心，我們可以輕易地揭開它的真面目！
一般式看起來像這樣：
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$其中 D、E 和 F 都只是常數。
一般式的關鍵特徵：
- x² 和 y² 的係數都是 1。
- 如果它們不是 1 但相等（例如 3x² + 3y²...），你必須先將整個方程除以那個數，然後才能進行其他步驟！
1.3 從一般式找出圓心和半徑
這是一個非常重要的技巧。我們如何從 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ 中找出圓心 (h, k) 和半徑 r 呢？
方法一：配方法（「正規」方法）
這個方法會將一般式轉換回標準式。這是一個可靠且總是有效的方法。
例子：找出圓形 $$x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$$ 的圓心和半徑。
步驟一：將 x 項和 y 項分組，並將常數項 (F) 移到方程的另一邊。
$$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11$$步驟二：為 x 項和 y 項配方。取 x（或 y）的係數的一半，平方後加到方程兩邊。
- 對於 x：-6 的一半是 -3。(-3)² 是 9。
- 對於 y：8 的一半是 4。(4)² 是 16。
$$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 11 + 9 + 16$$
步驟三：將完全平方項分解（或寫成平方形式）並簡化方程的右邊。
$$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 36$$步驟四：現在它已經是標準式了！直接讀出圓心和半徑。
- 圓心 (h, k)： (3, -4)
- 半徑 r： $$\sqrt{36} = 6$$
方法二：使用公式（快捷方式）
對於方程 $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$，你可以使用這些方便的公式。它們都是從配方法推導出來的。
- 圓心：$$ (-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}) $$
- 半徑：$$ \sqrt{(-\frac{D}{2})^2 + (-\frac{E}{2})^2 - F} $$
我們用同一個例子：$$x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$$
- 這裡，D = -6，E = 8，F = -11。
- 圓心： $$ (-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}) = (3, -4) $$
- 半徑： $$ \sqrt{(3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6 $$
結果一樣！雖然這個快捷方式更快，但請務必理解它是如何推導出來的。而且要記住，這個公式只適用於 x² 和 y² 的係數都是 1 的情況！
一般式的學習重點：
一般式會隱藏圓形的特性。請使用配方法或快捷公式將它轉換回標準式，以找出圓心和半徑。
1.4 從圓周上三點找出方程
這是一個稍微複雜一點的問題，但它只是關於建立和求解方程。如果你獲給定三點，而且這三點並不共線，那麼只有一個獨特的圓形會穿過這所有三點。
逐步解題過程：
例子：找出穿過 A(1, 0)、B(-1, 2) 和 C(3, 4) 三點的圓形方程。
步驟一：從一般式開始：$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$。我們的目標是找出 D、E 和 F 的值。
步驟二：將每個點代入方程，以建立三個新的方程。
- 對於 A(1, 0)：$$(1)^2 + (0)^2 + D(1) + E(0) + F = 0 \rightarrow 1 + D + F = 0$$ （方程一）
- 對於 B(-1, 2)：$$(-1)^2 + (2)^2 + D(-1) + E(2) + F = 0 \rightarrow 5 - D + 2E + F = 0$$ （方程二）
- 對於 C(3, 4)：$$(3)^2 + (4)^2 + D(3) + E(4) + F = 0 \rightarrow 25 + 3D + 4E + F = 0$$ （方程三）
步驟三：現在你有了包含三個未知數（D、E、F）的三個線性聯立方程組。同時解它們。（這可能需要一些時間，所以處理代數時要小心！）
解這些方程會得到：$$D = -\frac{8}{3}, E = -\frac{14}{3}, F = \frac{5}{3}$$
步驟四：將 D、E 和 F 的值代回一般式。
$$x^2 + y^2 - \frac{8}{3}x - \frac{14}{3}y + \frac{5}{3} = 0$$為了讓它看起來更整潔，你可以將整個方程乘以 3：
$$3x^2 + 3y^2 - 8x - 14y + 5 = 0$$1.5 判斷點在圓內、圓外還是圓周上？
你如何判斷一個點相對於圓形的位置呢？有兩種簡單的方法。
問題：點 P(5, 3) 在圓形 $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$$ 的圓內、圓外還是圓周上？
方法一：比較距離
- 找出圓的圓心和半徑。圓心是 (2, -1)，半徑是 $$\sqrt{25} = 5$$。
- 計算點 P(5, 3) 和圓心 (2, -1) 之間的距離。
$$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ - 將這個距離與半徑進行比較。
這裡，距離 (5) = 半徑 (5)。
結論：點 P 在圓周上。
- 如果距離 < 半徑，該點在圓內。
- 如果距離 > 半徑，該點在圓外。
方法二：代入驗證
- 將圓形方程重新排列，使其等於零：$$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 25 = 0$$。
- 將點的坐標 (x=5, y=3) 代入方程的左邊。
$$(5 - 2)^2 + (3 + 1)^2 - 25 = 3^2 + 4^2 - 25 = 9 + 16 - 25 = 0$$ - 檢查結果。
這裡，結果是 0。
結論：點 P 在圓周上。
- 如果結果 < 0，該點在圓內。
- 如果結果 > 0，該點在圓外。
第二部分：直線與圓形的交會
想像一下一條直路和一個圓形公園。這條路可能會完全錯過公園，可能只是剛好觸碰到邊緣，又或者直接穿過它。在代數上，我們可以精確地找出會發生什麼，以及在哪裡發生！
2.1 找出交點
這是一個經典的聯立方程問題。你有一條線性方程（直線）和一個二次方程（圓形）。解就是它們相交的點。
逐步解題過程：
例子：找出直線 $$y = x - 1$$ 和圓形 $$x^2 + y^2 = 5$$ 的交點。
步驟一：你有兩個方程。
(1) $$y = x - 1$$
(2) $$x^2 + y^2 = 5$$
步驟二：將線性方程代入圓形方程。用 `(x - 1)` 替換圓形方程中的 `y`。
$$x^2 + (x - 1)^2 = 5$$步驟三：展開並簡化，得到一個二次方程。
$$x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 5$$ $$2x^2 - 2x + 1 = 5$$ $$2x^2 - 2x - 4 = 0$$ $$x^2 - x - 2 = 0$$ （兩邊同時除以 2 簡化）步驟四：解這個二次方程以找出 `x`。這個方程可以因式分解！
$$(x - 2)(x + 1) = 0$$所以，$$x = 2$$ 或 $$x = -1$$。
步驟五：將這些 x 值代回線性方程（這樣會簡單得多！）以找出對應的 y 值。
- 當 x = 2 時：$$y = 2 - 1 = 1$$。所以其中一個交點是 (2, 1)。
- 當 x = -1 時：$$y = -1 - 1 = -2$$。所以另一個交點是 (-1, -2)。
結論：直線和圓形相交於兩點：(2, 1) 和 (-1, -2)。
2.2 使用判別式 ($$Δ$$) 找出交點數目
有時候，你不需要知道它們在哪裡相交，只需要知道它們相交多少次。這時判別式就派上用場了！
前備知識重溫：判別式
對於二次方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$，判別式是 $$Δ = b^2 - 4ac$$。
- 如果 $$Δ > 0$$，有兩個相異實根。
- 如果 $$Δ = 0$$，有一個重覆實根。
- 如果 $$Δ < 0$$，沒有實根。
判別式與交點的關係：
當你將直線方程代入圓形方程並得到二次方程後，你可以使用判別式來判斷交點的數目，而無需完全解出方程。
- 如果 **$$Δ > 0$$**，有 **2 個交點**。
- 如果 **$$Δ = 0$$**，有 **1 個交點**（直線是圓形的切線）。
- 如果 **$$Δ < 0$$**，有 **0 個交點**（它們沒有接觸）。
來試個例子吧：
找出直線 $$y = 3x + 10$$ 和圓形 $$x^2 + y^2 = 10$$ 的交點數目。
步驟一：將直線方程代入圓形方程。
$$x^2 + (3x + 10)^2 = 10$$步驟二：展開並簡化，得到標準二次方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$。
$$x^2 + (9x^2 + 60x + 100) = 10$$ $$10x^2 + 60x + 90 = 0$$ $$x^2 + 6x + 9 = 0$$ （兩邊同時除以 10）步驟三：識別 a、b 和 c。這裡，a = 1，b = 6，c = 9。
步驟四：計算判別式 $$Δ = b^2 - 4ac$$。
$$Δ = (6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$$結論：由於 $$Δ = 0$$，這條直線是圓形的切線，因此只有一個交點。
你知道嗎？
條件 $$Δ = 0$$ 是解決許多涉及圓形切線問題的關鍵，例如找出由某點引出的切線方程，或在直線方程中找出未知常數。
交點問題的學習重點：
要找出直線與圓形相交的位置，請使用代入法來建立一個二次方程。解出它以找出交點，或者使用判別式 ($$Δ$$) 來快速判斷交點的數目。