函數與圖像：終極學習指南！
各位同學！歡迎來到函數與圖像的友好指南。如果這個課題聽起來有些複雜，請不用擔心，我們會將所有內容拆解成簡單易懂的部分。函數是數學中其中一個最重要的概念，因為它們幫助我們描述周圍世界的各種關係，從籃球的軌跡到你電話費的計算方式都是。準備好了嗎？我們開始吧！
1. 究竟什麼是函數？
想像一下函數就像一部魔法販賣機。你放入一些東西（一個輸入），機器根據特定的規則運作，然後給你一些東西（一個輸出）。
類比：販賣機
- 輸入：你按下按鈕「B4」。
- 規則：機器知道「B4」代表「一包洋芋片」。
- 輸出：你得到一包洋芋片。
函數最重要的規則是：每個輸入只會對應一個輸出。如果你按下「B4」有時得到洋芋片，有時又得到巧克力，那麼機器就壞了。它就不是一個函數！
你需要知道的關鍵詞彙
- 自變數 (Independent Variable)：這就是你的輸入。是你選擇放入函數的數值。我們通常稱它為 x。
- 因變數 (Dependent Variable)：這就是你的輸出。它的數值取決於你選擇的輸入。我們通常稱它為 y 或者 f(x)。
- 定義域 (Domain)：所有可能輸入的集合（所有你可以使用的 x值）。
- 對應域 (Co-domain)：所有可能輸出的集合。
函數記法：f(x)
我們經常用一種特殊的記法來表示函數，例如 f(x)。你讀它做「f x」。它只是一個花俏的說法，意思是「當輸入是 x 時的輸出」。所以，y 和 f(x) 其實是同樣的東西！
例子：假設我們的函數規則是「將輸入加倍然後加一」。
用數學語言寫出來就是：$$f(x) = 2x + 1$$
- 如果我們的輸入是 x = 3，我們找出輸出：$$f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$$
- 如果我們的輸入是 x = -5，我們找出輸出：$$f(-5) = 2(-5) + 1 = -10 + 1 = -9$$
表示函數的三種方法
你可以用不同的方式表示同一個函數：
1. 表格法 (列表)：
這個方法很好，可以看到具體的輸入-輸出配對。對於 $$f(x) = 2x + 1$$：
輸入 (x) | 輸出 (f(x))
-1 | -1
0 | 1
1 | 3
2 | 5
2. 代數法 (方程)：
這是規則本身。它很強大，因為適用於任何輸入。
例子： $$f(x) = 2x + 1$$
3. 圖像法 (圖形)：
這會給你一個函數的圖畫，顯示所有輸入和輸出之間的關係。對於像 $$f(x) = 2x + 1$$ 這樣的線性函數，它的圖像是一條直線。
第一節重點提要
函數是一個規則，它接收一個輸入 (x)，並且恰好給出一個輸出 (y 或 f(x))。你可以用表格、方程或圖像來表示它。
2. 強大的二次函數：拋物線大全
你以前見過這些了！二次函數有一個 $$x^2$$ 項，它的圖像是一條漂亮的 U形曲線，叫做拋物線。
標準式是：$$y = ax^2 + bx + c$$（其中 'a' 不能為零）。
讓我們透過看 a、b 和 c 來揭示圖像的秘密！
拋物線的特點
1. 開口方向：
這是最簡單的！完全取決於 'a' 的值。
- 如果 a > 0 (正數)，拋物線就向上開口。(想想：a 是正數，所以是開心的樣子 :) )
- 如果 a < 0 (負數)，拋物線就向下開口。(想想：a 是負數，所以是傷心的樣子 :( )
2. y軸截距：
這是圖像與 y軸相交的點。在這一點，x 永遠是 0。
如果 $$y = ax^2 + bx + c$$，你代入 $$x=0$$，你會得到 $$y = a(0)^2 + b(0) + c = c$$。
所以，y軸截距永遠是 (0, c)。超簡單！
3. 頂點：
這是拋物線的轉捩點。
- 如果拋物線向上開口，頂點就是最低點（一個最小值）。
- 如果拋物線向下開口，頂點就是最高點（一個最大值）。
4. 對稱軸：
這是一條垂直線，將拋物線分成兩個完美的鏡像。它會穿過頂點。
這條線的方程是 $$x = -b / (2a)$$。這個公式超有用，因為頂點的 x座標都是 $$-b / (2a)$$！
5. x軸截距 (或 根)：
這些是圖像與 x軸相交的點。在這些點，y 永遠是 0。所以，我們正在解方程 $$ax^2 + bx + c = 0$$。
有多少個 x軸截距呢？我們可以用判別式 ($$
abla = b^2 - 4ac$$) 來找出答案！
- 如果 $$
abla > 0$$，就有兩個不同的 x軸截距。(圖像與 x軸相交兩次)。
- 如果 $$
abla = 0$$，就有一個 x軸截距。(頂點接觸到 x軸)。
- 如果 $$
abla < 0$$，就沒有實數 x軸截距。(圖像永遠不會接觸到 x軸)。
第二節重點提要
$$y = ax^2 + bx + c$$ 的圖像是一條拋物線。'a' 的正負號告訴你它是向上或向下開口。'c' 給出 y軸截距。對稱軸是 $$x = -b / (2a)$$，它也給出頂點的 x座標。判別式則告訴你圖像與 x軸相交幾次。
3. 尋找最大值和最小值
正如我們所見，拋物線的頂點要不是它的最高點（最大值），就是最低點（最小值）。函數在這一點的「值」就是頂點的 y座標。
方法一：從圖像判斷 (適合所有同學)
如果給你一個圖像，這就是全世界最簡單的任務。
1. 找出頂點（轉捩點）。
2. 讀取它的 y座標。
3. 如果拋物線向上開口，那麼它就是你的最小值。
4. 如果拋物線向下開口，那麼它就是你的最大值。
方法二：代數法 (非基礎課題)
如果你只有方程，怎樣找到頂點呢？你有兩個很好的選擇。
選項A：使用對稱軸公式
這通常是最快的方法！
1. 使用公式找出頂點的 x座標：$$x = -b / (2a)$$
2. 將這個 x值代回原有函數 $$y = ax^2 + bx + c$$，以找出對應的 y值。
3. 這個 (x, y) 配對就是你的頂點！y值就是你的最大值/最小值。
例子：找出 $$y = 2x^2 - 8x + 5$$ 的最小值
- 在這裡，a = 2，b = -8，c = 5。'a' 是正數，所以是最小值。
- 步驟1：頂點的 x座標 = $$-(-8) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2$$。
- 步驟2：代 x=2 回去：$$y = 2(2)^2 - 8(2) + 5 = 2(4) - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$。
- 答案：頂點是 (2, -3)。函數的最小值是 -3。
選項B：配方法
這個方法將方程的形式從 $$y = ax^2 + bx + c$$ 變換成頂點式 $$y = a(x - h)^2 + k$$。一旦變成了這個形式，頂點就簡單是 (h, k)。
如果一開始覺得有些難處理，請不用擔心，這只是需要多點練習！
第三節重點提要
二次函數的最大值或最小值就是它頂點的 y座標。你可以透過觀察圖像或使用公式 $$x = -b / (2a)$$ 以代數方式找出頂點來找到它。
4. 用圖像解方程和不等式
圖像不單止是漂亮的圖畫；它們是解決問題的強大工具！你只需要看看線和曲線在哪裡相交，就可以找到解。
解 f(x) = k
圖像地解一個方程，例如 $$x^2 - 2x - 2 = 1$$，意思是找出使它成立的 x值。
逐步解說：
1. 將它想成兩個獨立的圖像：$$y = f(x)$$（曲線）和 $$y = k$$（水平線）。
2. 在同一個坐標軸上，畫出 $$y = f(x)$$ 的圖像（例如 $$y = x^2 - 2x - 2$$）和直線 $$y = k$$（例如 $$y = 1$$）。
3. 解就是相交點的 x座標！
例子：使用 $$y = x^2 - 2x - 2$$ 的圖像，解 $$x^2 - 2x - 2 = 1$$。
你會畫出拋物線，然後畫出水平線 y=1。如果它們在 x = -1 和 x = 3 相交，那麼這些就是你的解。
解 f(x) > k 和 f(x) < k
這是關於找出 x值的範圍，而不是特定的點。
- 要解 f(x) > k，你正在尋找所有 $$y = f(x)$$ 圖像在 $$y = k$$ 這條線上方的 x值。
- 要解 f(x) < k，你正在尋找所有 $$y = f(x)$$ 圖像在 $$y = k$$ 這條線下方的 x值。
記憶小提示：想想「>」是「大於」或「高於」（上方）。想想「<」是「小於」或「低於」（下方）。
第四節重點提要
圖像地解 $$f(x) = k$$，就是找出圖像 $$y=f(x)$$ 和直線 $$y=k$$ 的相交點。要解 $$f(x) > k$$，就找出圖像在條線上方的位置。要解 $$f(x) < k$$，就找出圖像在條線下方的位置。
5. 圖像變換
圖像變換是移動、拉伸或翻轉圖像的方法。如果你知道一個基本函數，例如 $$y = f(x)$$ 的圖像，你就可以不用重新列表來畫出新的相關圖像。
四種基本變換
讓我們用一個基本函數，$$y = f(x)$$。
1. 垂直平移：$$y = f(x) + k$$ (向上/向下移動)
- 如果 k 是正數，圖像會向上平移 k 個單位。
- 如果 k 是負數，圖像會向下平移 k 個單位。
這是直觀的，和你預期的完全一樣。
2. 水平平移：$$y = f(x + k)$$ (向左/向右移動)
- 如果 k 是正數（例如 $$f(x+3)$$），圖像會向左平移 k 個單位。
- 如果 k 是負數（例如 $$f(x-3)$$），圖像會向右平移 k 個單位。
警告：常見錯誤！這和你可能預期的相反。記住：x 會騙你！加到 x 會向負方向（左邊）移動，而從 x 減去會向正方向（右邊）移動。
3. 垂直拉伸/壓縮：$$y = kf(x)$$ (垂直拉伸/壓縮)
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會垂直拉伸（變得更高/更瘦）。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會垂直壓縮（變得更矮/更寬）。
- 如果 k 是負數，圖像還會沿 x軸反射（上下顛倒）。
4. 水平拉伸/壓縮：$$y = f(kx)$$ (水平拉伸/壓縮)
- 如果 $$|k| > 1$$，圖像會以 1/k 的因子水平壓縮。
- 如果 $$0 < |k| < 1$$，圖像會以 1/k 的因子水平拉伸。
- 如果 k 是負數，圖像還會沿 y軸反射（左右翻轉）。
這也是反直覺的，就像水平平移一樣。括號裡面的大 'k' 會將圖像水平擠壓。
你知道嗎？
你在二次函數圖像中看到的漂亮拋物線形狀，在自然界和工程學隨處可見！拋擲物件的軌跡、衛星碟的形狀，和吊橋的纜索都是拋物線。
第五節重點提要
函數括號外面的變化（例如 $$f(x)+k$$ 和 $$kf(x)$$）會影響圖像的垂直方向。函數括號裡面的變化（例如 $$f(x+k)$$ 和 $$f(kx)$$）會影響圖像的水平方向，而且通常以反直覺的方式呈現。